Cinematica

Einstein e Infeld scrissero che la fisica è come un romanzo giallo: la Natura è il colpevole, lo scienziato il detective che ricostruisce i fatti dagli indizi (Einstein e Infeld 1938, cap. 1). Il moto è l’indizio più immediato. La cinematica è il ramo della fisica che descrive come si muovono i corpi, senza chiedersi perché: il perché sarà affidato alle forze, nel capitolo sulla dinamica. Questo capitolo introduce le grandezze del moto, le equazioni del moto uniformemente accelerato, l’estensione ai vettori e al piano, e il moto circolare uniforme.

Sezioni

• Grandezze fondamentali del moto
• Conversione delle unità di misura
• Richiami di trigonometria
• Moto rettilineo uniformemente accelerato
• Vettori e moto in due dimensioni
• Moto circolare uniforme

Riflessioni

• Lo spazio, il tempo e la scelta dell’origine

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Einstein and Infeld wrote that physics is like a detective novel: Nature is the culprit, the scientist the detective who reconstructs the facts from the clues (Einstein and Infeld 1938, ch. 1). Motion is the most immediate clue. Kinematics is the branch of physics that describes how bodies move, without asking why: the why will be left to forces, in the chapter on dynamics. This chapter introduces the quantities of motion, the equations of uniformly accelerated motion, the extension to vectors and the plane, and uniform circular motion.

Sections

• Fundamental quantities of motion
• Unit conversion
• Trigonometry review
• Uniformly accelerated rectilinear motion
• Vectors and motion in two dimensions
• Uniform circular motion

Reflections

• Space, time and the choice of origin

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Prima di risolvere qualsiasi problema è fondamentale lavorare in unità coerenti del Sistema Internazionale (SI). Le conversioni più utili in cinematica sono poche.

Conversioni chiave

$1\;\text{km} = 1000\;\text{m}$ $1\;\text{h} = 3600\;\text{s}$ $1\;\text{km/h} = \frac{1}{3{,}6}\;\text{m/s}$

Il trucco sistematico consiste nel moltiplicare per fattori di conversione, trasformando un’unità alla volta. Ogni fattore è un rapporto uguale a $1$ (per esempio $\frac{1000\;\text{m}}{1\;\text{km}}$), quindi non altera il valore fisico, solo le unità con cui lo esprimiamo.

Esempio — Conversione di unità composte

Convertire $10\;\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}}$ in $\dfrac{\text{km}^2}{\text{h}}$. $10\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}} = 10 \cdot \frac{\left(\frac{1}{1000}\;\text{km}\right)^2}{\frac{1}{3600}\;\text{h}} = 10 \cdot \frac{10^{-6}}{2{,}78 \cdot 10^{-4}} = 0{,}036\;\frac{\text{km}^2}{\text{h}}$ Si noti che il metro al quadrato viene elevato al quadrato nel fattore di conversione, mentre il secondo viene convertito una sola volta.

Esempio — Conversione della forza

Convertire $0{,}02\;\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2}$ in $\dfrac{\text{g}\cdot\text{km}}{\text{h}^2}$. $0{,}02 \cdot \frac{1000 \cdot \frac{1}{1000}}{\left(\frac{1}{3600}\right)^2} = 0{,}02 \cdot 3600^2 = 2{,}59 \cdot 10^{5}\;\frac{\text{g}\cdot\text{km}}{\text{h}^2}$

Unità di misura nei calcoli

Non trascurare mai le unità di misura! Ogni risultato numerico senza unità è privo di significato fisico. Inoltre, controllare le unità del risultato è un potente strumento per verificare la correttezza dei calcoli.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Conversione di unità · Analisi dimensionale Metodi: Metodo dei fattori di conversione

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il rubinetto che perde · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Problema — Volume di un parallelepipedo

Before solving any problem it is essential to work in consistent units of the International System (SI). The most useful conversions in kinematics are few.

Key conversions

$1\;\text{km} = 1000\;\text{m}$ $1\;\text{h} = 3600\;\text{s}$ $1\;\text{km/h} = \frac{1}{3{,}6}\;\text{m/s}$

The systematic trick consists in multiplying by conversion factors, transforming one unit at a time. Each factor is a ratio equal to $1$ (for example $\frac{1000\;\text{m}}{1\;\text{km}}$), so it does not alter the physical value, only the units in which we express it.

Example — Conversion of compound units

Convert $10\;\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}}$ to $\dfrac{\text{km}^2}{\text{h}}$. $10\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}} = 10 \cdot \frac{\left(\frac{1}{1000}\;\text{km}\right)^2}{\frac{1}{3600}\;\text{h}} = 10 \cdot \frac{10^{-6}}{2{,}78 \cdot 10^{-4}} = 0{,}036\;\frac{\text{km}^2}{\text{h}}$ Note that the metre squared is squared in the conversion factor, while the second is converted only once.

Example — Conversion of force

Convert $0{,}02\;\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2}$ to $\dfrac{\text{g}\cdot\text{km}}{\text{h}^2}$. $0{,}02 \cdot \frac{1000 \cdot \frac{1}{1000}}{\left(\frac{1}{3600}\right)^2} = 0{,}02 \cdot 3600^2 = 2{,}59 \cdot 10^{5}\;\frac{\text{g}\cdot\text{km}}{\text{h}^2}$

Units of measurement in calculations

Never neglect units of measurement! Every numerical result without units is devoid of physical meaning. Moreover, checking the units of the result is a powerful tool for verifying the correctness of calculations.

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Topics: Physical quantities and measurement Skills: Unit conversion · Dimensional analysis Methods: Conversion factor method

Related exercises: Worked exercise — The leaking tap · Worked exercise — Area of a measured rectangle · Problem — Volume of a rectangular box

Un triangolo rettangolo e le sue relazioni sono la base di quasi ogni problema di fisica: servono ogni volta che dobbiamo scomporre una grandezza vettoriale nelle sue componenti.

Triangolo rettangolo: ipotenusa $i$, cateto adiacente $a$ e cateto opposto $o$ rispetto all’angolo $\alpha$.

In un triangolo rettangolo con ipotenusa $i$, cateto adiacente $a$ e cateto opposto $o$ rispetto all’angolo $\alpha$ valgono le tre relazioni fondamentali:

$\cos\alpha = \frac{a}{i}, \qquad \sin\alpha = \frac{o}{i}, \qquad \tan\alpha = \frac{o}{a}$

Inversamente, noto un rapporto fra i lati si ricava l’angolo con le funzioni inverse:

$\alpha = \arctan\!\left(\frac{o}{a}\right) = \arcsin\!\left(\frac{o}{i}\right) = \arccos\!\left(\frac{a}{i}\right)$

Queste relazioni serviranno costantemente per passare dal modulo e dalla direzione di un vettore alle sue componenti cartesiane, e viceversa.

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Argomenti: Vettori Competenze: Uso della trigonometria · Scomposizione vettoriale

Esercizi collegati: Calciatore gittata e altezza massima · Il cane nel parco · Auto in curva

A right triangle and its relations are the basis of almost every physics problem: they are needed whenever we must resolve a vector quantity into its components.

Right triangle: hypotenuse $i$, adjacent side $a$ and opposite side $o$ with respect to angle $\alpha$.

In a right triangle with hypotenuse $i$, adjacent side $a$ and opposite side $o$ with respect to angle $\alpha$, the three fundamental relations hold:

$\cos\alpha = \frac{a}{i}, \qquad \sin\alpha = \frac{o}{i}, \qquad \tan\alpha = \frac{o}{a}$

Conversely, given a ratio between the sides, the angle can be found using the inverse functions:

$\alpha = \arctan\!\left(\frac{o}{a}\right) = \arcsin\!\left(\frac{o}{i}\right) = \arccos\!\left(\frac{a}{i}\right)$

These relations will be constantly needed to pass from the magnitude and direction of a vector to its Cartesian components, and vice versa.

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Topics: Vectors Skills: Use of trigonometry · Vector resolution

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Scrivere $s = s_0 + v\,t$ sembra un gesto innocente. In realtà nasconde una scelta decisiva: quando comincia "$t$"? Abbiamo fissato un istante zero, un’origine dei tempi, e un punto zero, un’origine degli spazi, e solo rispetto a essi misuriamo le posizioni.

La stessa realtà fisica — una macchina che corre per $30$ secondi — può essere scritta in mille modi diversi a seconda di dove abbiamo piantato i due paletti. Se sposto l’origine degli spazi, cambiano tutti i valori di $s$; se sposto l’origine dei tempi, cambiano tutti i valori di $t$. Eppure il moto, quello vero, è sempre lo stesso: la macchina non sa dove abbiamo messo lo zero.

Questo semplice fatto contiene già il seme del principio di relatività: le leggi della fisica devono avere la stessa forma qualunque sia il paletto che abbiamo scelto, purché sia un sistema di riferimento inerziale. La libertà di scegliere l’origine non è un difetto della descrizione, ma un indizio di una simmetria profonda della natura.

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Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato

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Writing $s = s_0 + v\,t$ seems an innocent gesture. In reality it hides a decisive choice: when does "$t$" begin? We have fixed a zero instant, an origin of times, and a zero point, an origin of positions, and only with respect to them do we measure positions.

The same physical reality — a car travelling for $30$ seconds — can be written in a thousand different ways depending on where we have planted the two markers. If I shift the origin of positions, all the values of $s$ change; if I shift the origin of times, all the values of $t$ change. Yet the motion, the real one, is always the same: the car does not know where we have put the zero.

This simple fact already contains the seed of the principle of relativity: the laws of physics must have the same form whatever marker we have chosen, provided it is an inertial reference frame. The freedom to choose the origin is not a flaw in the description, but a clue to a deep symmetry of nature.

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Topics: Cinematica Concepts: Moto uniformemente accelerato

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