Le tre leggi di Newton

Le tre leggi di Newton costituiscono il cuore della meccanica classica: la prima definisce i sistemi inerziali e il principio di inerzia, la seconda lega forza, massa e accelerazione ($\sum\vv F = m\vv a$), la terza governa le coppie azione–reazione. Due intermezzi storici raccontano la nascita dei Principia e il mistero della massa inerziale contro quella gravitazionale.

• Prima legge (principio di inerzia)
• I Principia di Newton
• Seconda legge di Newton
• La massa: inerziale o gravitazionale?
• Terza legge (azione e reazione)
• Seconda legge per un sistema

Prova tu — simulazione interattiva

Newton’s three laws form the heart of classical mechanics: the first defines inertial frames and the principle of inertia, the second links force, mass and acceleration ($\sum\vv F = m\vv a$), the third governs action–reaction pairs. Two historical interludes tell the story of the birth of the Principia and the mystery of inertial versus gravitational mass.

• First law (principle of inertia)
• Newton’s Principia
• Newton’s second law
• Mass: inertial or gravitational?
• Third law (action and reaction)
• Second law for a system

Try it — interactive simulation

La prima legge di Newton, detta anche principio di inerzia, descrive il comportamento di un corpo lasciato a sé stesso, cioè libero da ogni influenza esterna. È il punto di partenza di tutta la dinamica: prima di chiederci come le forze cambiano il moto, dobbiamo stabilire cosa accade in assenza di forze.

Principio — Prima legge di Newton

Un corpo su cui non agiscono forze (o su cui la risultante delle forze è nulla) resta fermo o continua a muoversi di moto rettilineo uniforme.

L’aspetto controintuitivo è che lo stato di quiete e lo stato di moto rettilineo uniforme sono, dal punto di vista della fisica, la stessa cosa: entrambi corrispondono ad accelerazione nulla. Non serve alcuna forza per mantenere il moto; una forza serve solo per modificarlo, cioè per accelerare, frenare o curvare la traiettoria. L’esperienza quotidiana sembra suggerire il contrario — un oggetto che scivola sul pavimento prima o poi si ferma — ma questo accade proprio perché su di esso agisce una forza: l’attrito. Tolto l’attrito, il moto proseguirebbe indefinitamente.

Questa legge ha però un ruolo ancora più profondo: definisce il tipo di sistema di riferimento in cui la meccanica newtoniana è valida. Un sistema di riferimento inerziale è, per definizione, un sistema in cui vale la prima legge, cioè un sistema in cui un corpo libero da forze non accelera. Non tutti i sistemi di riferimento sono inerziali: un osservatore su una giostra in rotazione, o dentro un’automobile che frena bruscamente, vede i corpi liberi accelerare pur senza alcuna forza reale che agisca su di essi. In quei sistemi la prima legge — e con essa l’intera meccanica di Newton nella sua forma più semplice — non funziona.

Note

Le tre leggi di Newton, e in particolare la seconda ($\vv{F} = m\,\vv{a}$), valgono solo nei sistemi di riferimento inerziali. La prima legge è ciò che ci permette di riconoscerli: sono i sistemi in cui un corpo isolato mantiene velocità costante.

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Newton’s first law, also known as the principle of inertia, describes the behaviour of a body left to itself, that is, free from any external influence. It is the starting point of all dynamics: before asking how forces change motion, we must establish what happens in the absence of forces.

Principle — Newton's first law

A body on which no forces act (or on which the resultant of the forces is zero) remains at rest or continues to move with uniform rectilinear motion.

The counter-intuitive aspect is that the state of rest and the state of uniform rectilinear motion are, from the point of view of physics, the same thing: both correspond to zero acceleration. No force is needed to maintain motion; a force is needed only to change it, that is, to accelerate, slow down or curve the trajectory. Everyday experience seems to suggest the opposite — an object sliding on the floor eventually stops — but this happens precisely because a force acts on it: friction. Remove the friction, and the motion would continue indefinitely.

This law, however, has an even more profound role: it defines the type of reference frame in which Newtonian mechanics is valid. An inertial reference frame is, by definition, a frame in which the first law holds, that is, a frame in which a body free from forces does not accelerate. Not all reference frames are inertial: an observer on a rotating merry-go-round, or inside a car braking sharply, sees free bodies accelerate even though no real force acts on them. In those frames the first law — and with it the whole of Newton’s mechanics in its simplest form — does not work.

Note

Newton’s three laws, and in particular the second ($\vv{F} = m\,\vv{a}$), hold only in inertial reference frames. The first law is what allows us to recognise them: they are the frames in which an isolated body maintains constant velocity.

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Tutto cominciò in un caffè londinese nel 1684, dove Edmond Halley, Christopher Wren e Robert Hooke discutevano un problema che li assillava: se le orbite ellittiche dei pianeti potessero derivare da una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Wren offrì un premio a chi ne avesse fornito la dimostrazione, ma nessuno dei tre riusciva a completarla. Halley decise allora di andare a Cambridge a consultare Isaac Newton, che rispose con un manoscritto di appena nove pagine, il De Motu Corporum in Gyrum: un testo che, da solo, gli avrebbe già assicurato un posto nella storia della scienza. Ma era soltanto l’inizio. Nei tre anni successivi Newton lo espanse enormemente, trasformandolo nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), l’opera che riorientò la filosofia naturale per generazioni (Oxford Handbook of the History of Physics 2014, pp. 109–110) Riferimenti bibliografici.

L’opera fu scritta in un vero e proprio furore creativo, durante il quale Newton visse quasi da recluso al Trinity College, dimentico persino di mangiare. La pubblicazione stessa fu un’avventura: Halley la finanziò di tasca propria, dopo che la Royal Society aveva esaurito il proprio budget stampando un lussuoso libro sui pesci (Simonyi 2012, pp. 255–270).

Newton aveva un metodo di lavoro tutto suo. Annotava le sue idee ancora acerbe in un quaderno che chiamava waste book (“libro degli scarti”), oggi considerato forse il più importante documento autografo del genio inglese. Il suo carattere, però, era tutt’altro che sereno. La successiva disputa con Leibniz sulla priorità dell’invenzione del calcolo infinitesimale degenerò al punto che la Royal Society — presieduta dallo stesso Newton — arrivò ad accusare Leibniz di plagio. Fu una vittoria “di Pirro”: per orgoglio nazionale, i matematici inglesi si aggrapparono ostinatamente alla notazione di Newton, ignorando gli straordinari sviluppi della scuola continentale di Leibniz (i Bernoulli, Eulero). Per oltre un secolo, di conseguenza, la matematica britannica rimase di importanza secondaria (Simonyi 2012, pp. 295–296).

Contesto storico

Edward Dolnick, nella sua storia dell’era dei Principia, descrive il XVII secolo come l’epoca in cui, per la prima volta, l’umanità intuisce che l’universo funziona “come un orologio”: un meccanismo perfetto, descrivibile da equazioni matematiche e prevedibile con precisione arbitraria. Newton è la figura centrale di questo “universo meccanico”, che tutti i fisici successivi avrebbero ereditato e raffinato, fino alla crisi della meccanica classica all’inizio del Novecento (Dolnick 2011).

Eppure Newton stesso era molto più di un fisico. Passò più tempo sui manoscritti alchemici e sulle interpretazioni apocalittiche della Bibbia che non sulla gravitazione. Quando John Maynard Keynes acquistò all’asta i suoi manoscritti inediti, nel 1936, ne rimase profondamente colpito e scrisse la celebre frase che riassume questa doppia natura:

Quote

“Newton non fu il primo dell’età della ragione. Fu l’ultimo dei maghi.” — John Maynard Keynes (Simonyi 2012, cap. 1)

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It all began in a London coffee house in 1684, where Edmond Halley, Christopher Wren and Robert Hooke were discussing a problem that had been troubling them: whether the elliptical orbits of the planets could derive from a force inversely proportional to the square of the distance. Wren offered a prize to whoever could provide the proof, but none of the three could complete it. Halley then decided to go to Cambridge to consult Isaac Newton, who replied with a manuscript of barely nine pages, the De Motu Corporum in Gyrum: a text that, on its own, would already have secured him a place in the history of science. But it was only the beginning. Over the following three years Newton expanded it enormously, turning it into the Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), the work that reoriented natural philosophy for generations (Oxford Handbook of the History of Physics 2014, pp. 109–110) Riferimenti bibliografici.

The work was written in a veritable creative fury, during which Newton lived almost as a recluse at Trinity College, forgetting even to eat. The publication itself was an adventure: Halley financed it out of his own pocket, after the Royal Society had exhausted its budget printing a lavish book about fish (Simonyi 2012, pp. 255–270).

Newton had a working method entirely his own. He jotted down his still-immature ideas in a notebook he called the waste book, today considered perhaps the most important autograph document of the English genius. His character, however, was anything but calm. The subsequent dispute with Leibniz over priority in the invention of infinitesimal calculus degenerated to the point that the Royal Society — presided over by Newton himself — went so far as to accuse Leibniz of plagiarism. It was a “Pyrrhic” victory: out of national pride, English mathematicians stubbornly clung to Newton’s notation, ignoring the extraordinary developments of the continental school of Leibniz (the Bernoullis, Euler). For over a century, as a result, British mathematics remained of secondary importance (Simonyi 2012, pp. 295–296).

Historical context

Edward Dolnick, in his history of the era of the Principia, describes the seventeenth century as the age in which, for the first time, humanity intuits that the universe works “like a clock”: a perfect mechanism, describable by mathematical equations and predictable with arbitrary precision. Newton is the central figure of this “mechanical universe”, which all subsequent physicists would inherit and refine, right up to the crisis of classical mechanics at the start of the twentieth century (Dolnick 2011).

Yet Newton himself was far more than a physicist. He spent more time on alchemical manuscripts and apocalyptic interpretations of the Bible than on gravitation. When John Maynard Keynes bought his unpublished manuscripts at auction in 1936, he was deeply struck and wrote the famous line that sums up this dual nature:

Quote

“Newton was not the first of the age of reason. He was the last of the magicians.” — John Maynard Keynes (Simonyi 2012, ch. 1)

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La seconda legge di Newton è il cuore quantitativo della dinamica: mentre la prima legge ci dice quando il moto cambia (in presenza di una forza risultante non nulla), la seconda ci dice di quanto cambia. Stabilisce il legame preciso tra la causa — la forza — e l’effetto — l’accelerazione.

Principio — Seconda legge di Newton

La somma di tutte le forze agenti su un corpo è uguale alla massa del corpo moltiplicata per la sua accelerazione: $\ev{\sum \vv{F} = m\,\vv{a}}$ Il sistema di riferimento deve essere inerziale.

L’equazione è vettoriale: forza e accelerazione hanno la stessa direzione e lo stesso verso, e sono legate dal fattore di proporzionalità $m$, la massa. Più grande è la massa, minore è l’accelerazione prodotta da una data forza: la massa misura l’inerzia, cioè la resistenza di un corpo al cambiamento del suo stato di moto. Poiché si tratta di un’uguaglianza tra vettori, essa equivale a tante equazioni scalari quante sono le dimensioni dello spazio: nel piano, l’unica relazione vettoriale si spezza in due equazioni indipendenti, una per ciascun asse cartesiano.

Formula chiave

$\vv{F}_1 + \vv{F}_2 + \cdots = m\,\vv{a}$ In componenti: $\begin{cases} F_{1x} + F_{2x} + \cdots = m\,a_x \\ F_{1y} + F_{2y} + \cdots = m\,a_y \end{cases}$

Questa scomposizione in componenti è ciò che rende la seconda legge uno strumento di calcolo. Nella pratica, la sua applicazione segue una procedura in cinque passi, sempre la stessa, che conviene imparare a memoria ed eseguire con ordine:

1. Diagramma di interazione: disegnare tutti gli oggetti coinvolti e le biscioline che rappresentano le loro interazioni.
2. Cerchiare l’oggetto di cui vogliamo studiare il moto e contare le forze che agiscono su di esso.
3. Diagramma di corpo libero: disegnare l’oggetto isolato con tutte le forze applicate rappresentate come vettori uscenti dal corpo.
4. Scomporre ogni forza nelle sue componenti lungo gli assi $x$ e $y$.
5. Scrivere le due equazioni scalari $\sum F_x = m\,a_x$ e $\sum F_y = m\,a_y$, e risolverle.

Errori comuni

La seconda legge vale solo in un sistema di riferimento inerziale. In un sistema accelerato (un’automobile che frena, una giostra che ruota) l’uguaglianza $\sum \vv{F} = m\,\vv{a}$ non è più valida nella sua forma semplice, perché compaiono accelerazioni apparenti non associate ad alcuna forza reale.

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Newton’s second law is the quantitative heart of dynamics: while the first law tells us when motion changes (in the presence of a non-zero resultant force), the second tells us by how much it changes. It establishes the precise link between the cause — the force — and the effect — the acceleration.

Principle — Newton's second law

The sum of all forces acting on a body equals the body’s mass multiplied by its acceleration: $\ev{\sum \vv{F} = m\,\vv{a}}$ The reference frame must be inertial.

The equation is vectorial: force and acceleration have the same direction and the same sense, and are linked by the proportionality factor $m$, the mass. The greater the mass, the smaller the acceleration produced by a given force: mass measures inertia, that is, a body’s resistance to a change in its state of motion. Since it is an equality between vectors, it is equivalent to as many scalar equations as there are dimensions of space: in the plane, the single vector relation splits into two independent equations, one for each Cartesian axis.

Key formula

$\vv{F}_1 + \vv{F}_2 + \cdots = m\,\vv{a}$ In components: $\begin{cases} F_{1x} + F_{2x} + \cdots = m\,a_x \\ F_{1y} + F_{2y} + \cdots = m\,a_y \end{cases}$

This decomposition into components is what makes the second law a computational tool. In practice, its application follows a five-step procedure, always the same, which is worth learning by heart and carrying out in order:

1. Interaction diagram: draw all the objects involved and the squiggles representing their interactions.
2. Circle the object whose motion we want to study and count the forces acting on it.
3. Free-body diagram: draw the isolated object with all applied forces represented as vectors leaving the body.
4. Resolve each force into its components along the $x$ and $y$ axes.
5. Write the two scalar equations $\sum F_x = m\,a_x$ and $\sum F_y = m\,a_y$, and solve them.

Common mistakes

The second law holds only in an inertial reference frame. In an accelerating frame (a car braking, a rotating merry-go-round) the equality $\sum \vv{F} = m\,\vv{a}$ is no longer valid in its simple form, because apparent accelerations appear that are not associated with any real force.

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La grandezza $m$ che compare nella seconda legge $\vv{F} = m\,\vv{a}$ si chiama massa inerziale: essa misura la resistenza di un corpo al cambiamento della propria velocità. Più un corpo ha massa inerziale grande, più è difficile accelerarlo o frenarlo con una forza assegnata. È, in questo senso, una misura dell‘“ostinazione” del corpo a mantenere il proprio stato di moto.

Esiste però un’altra grandezza, apparentemente del tutto diversa: la massa gravitazionale. È quella che compare nella legge di gravitazione universale, nella forma $F = G\,m_g M_g / d^2$, e che determina l’intensità dell’attrazione gravitazionale tra due corpi. A priori non c’è alcuna ragione per cui le due masse debbano coincidere: sono definite attraverso esperimenti concettualmente indipendenti. La massa inerziale si misura applicando una forza qualsiasi e osservando l’accelerazione prodotta; la massa gravitazionale si misura pesando il corpo, cioè osservando la forza con cui esso è attratto da un altro corpo. Nulla, nella struttura logica della meccanica, impone che i due numeri siano uguali.

Eppure, sperimentalmente, le due masse risultano sempre uguali, con una precisione a dir poco straordinaria: oggi l’uguaglianza è verificata fino a una parte su $10^{15}$. Questa coincidenza misteriosa non ha, nella meccanica di Newton, alcuna spiegazione: è semplicemente un fatto osservato. Fu proprio questa coincidenza a spingere Einstein, nel 1915, a formulare la relatività generale, in cui la gravità non è più una forza ma la curvatura dello spazio-tempo. In quella teoria l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale cessa di essere una coincidenza e diventa un principio fondativo — il principio di equivalenza (Jammer 2000, cap. 8).

Contesto storico

Max Jammer, nella sua storia concettuale della massa, osserva che “la nozione di massa, pur essendo fondamentale per la fisica, è ancora avvolta nel mistero”. Il concetto sembra elementare, quasi ovvio, ma nasconde in realtà secoli di riflessione filosofica e fisica che non si sono ancora del tutto conclusi (Jammer 2000; Jammer 1957).

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The quantity $m$ appearing in the second law $\vv{F} = m\,\vv{a}$ is called inertial mass: it measures a body’s resistance to a change in its own velocity. The greater a body’s inertial mass, the harder it is to accelerate or slow it down with a given force. It is, in this sense, a measure of the body’s “stubbornness” in maintaining its state of motion.

There exists, however, another quantity, apparently entirely different: gravitational mass. This is the one that appears in the law of universal gravitation, in the form $F = G\,m_g M_g / d^2$, and that determines the strength of the gravitational attraction between two bodies. A priori there is no reason why the two masses should coincide: they are defined through conceptually independent experiments. Inertial mass is measured by applying any force and observing the resulting acceleration; gravitational mass is measured by weighing the body, that is, by observing the force with which it is attracted by another body. Nothing in the logical structure of mechanics requires the two numbers to be equal.

Yet, experimentally, the two masses always turn out to be equal, with a truly extraordinary precision: today the equality is verified to within one part in $10^{15}$. This mysterious coincidence has, within Newtonian mechanics, no explanation: it is simply an observed fact. It was precisely this coincidence that led Einstein, in 1915, to formulate general relativity, in which gravity is no longer a force but the curvature of spacetime. In that theory the equality between inertial mass and gravitational mass ceases to be a coincidence and becomes a founding principle — the equivalence principle (Jammer 2000, ch. 8).

Historical context

Max Jammer, in his conceptual history of mass, observes that “the notion of mass, although fundamental to physics, is still shrouded in mystery”. The concept seems elementary, almost obvious, but it actually conceals centuries of philosophical and physical reflection that are not yet entirely concluded (Jammer 2000; Jammer 1957).

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La terza legge di Newton, nota anche come principio di azione e reazione, esprime il carattere sempre reciproco delle forze. Nessun corpo può esercitare una forza su un altro senza subirne, a sua volta, una uguale e contraria. Le forze, in altre parole, non esistono mai da sole: esistono solo come interazioni tra coppie di corpi.

Principio — Terza legge di Newton

Se un corpo A esercita su un corpo B una forza $\vv{F}_{AB}$, allora il corpo B esercita su A una forza uguale e opposta: $\vv{F}_{AB} = -\vv{F}_{BA}$

Le due forze — che chiamiamo forze gemelle — hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e verso opposto. Nel linguaggio dei diagrammi di interazione, ogni bisciolina che collega due corpi rappresenta esattamente una di queste coppie: una sola interazione, due forze gemelle. Il punto cruciale, e la fonte di quasi tutti gli errori, è che le due forze agiscono su corpi diversi: una su A, l’altra su B. Per questo motivo non si sommano mai tra loro e non compaiono mai nella stessa equazione di Newton.

La terza legge: una bisciolina rappresenta due forze gemelle uguali e opposte. Ciascuna agisce su un corpo diverso: non compaiono mai nella stessa equazione di Newton.

Errori comuni

• Le forze gemelle agiscono su corpi diversi: non si sommano mai tra loro, e in particolare non si cancellano (agendo su corpi distinti, non possono equilibrarsi a vicenda).
• Le due gemelle sono sempre dello stesso tipo: se una è di natura gravitazionale, lo è anche l’altra; se una è una tensione, anche l’altra lo è.
• La reazione vincolare del pavimento non è la gemella del peso di un corpo appoggiato. La vera gemella del peso è la forza gravitazionale che il corpo esercita sulla Terra. Peso e reazione normale agiscono entrambi sullo stesso corpo, quindi non possono essere una coppia azione–reazione: sono, casomai, due forze che si equilibrano per la seconda legge, non per la terza.

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Newton’s third law, also known as the principle of action and reaction, expresses the always mutual nature of forces. No body can exert a force on another without in turn experiencing an equal and opposite one. Forces, in other words, never exist on their own: they exist only as interactions between pairs of bodies.

Principle — Newton's third law

If a body A exerts on a body B a force $\vv{F}_{AB}$, then body B exerts on A an equal and opposite force: $\vv{F}_{AB} = -\vv{F}_{BA}$

The two forces — which we call twin forces — have the same magnitude, the same line of action, and opposite sense. In the language of interaction diagrams, every squiggle connecting two bodies represents exactly one of these pairs: a single interaction, two twin forces. The crucial point, and the source of almost all mistakes, is that the two forces act on different bodies: one on A, the other on B. For this reason they are never added together and never appear in the same Newton equation.

The third law: a squiggle represents two equal and opposite twin forces. Each acts on a different body: they never appear in the same Newton equation.

Common mistakes

• Twin forces act on different bodies: they are never added together, and in particular they do not cancel out (acting on distinct bodies, they cannot balance each other).
• The two twins are always of the same type: if one is gravitational in nature, so is the other; if one is a tension, so is the other.
• The floor’s constraint reaction is not the twin of the weight of a body resting on it. The true twin of the weight is the gravitational force that the body exerts on the Earth. Weight and normal reaction both act on the same body, so they cannot be an action–reaction pair: they are, if anything, two forces that balance by the second law, not by the third.

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Quando più corpi si muovono insieme — due blocchi a contatto che vengono spinti, un trenino di vagoni, una carrucola con due masse collegate — spesso non ci interessa, in prima battuta, conoscere le forze che si scambiano internamente, ma solo l’accelerazione comune dell’insieme. In questi casi conviene trattare l’intero gruppo di corpi come un unico sistema e applicare a esso la seconda legge di Newton.

Principio — Seconda legge per un sistema

$\sum \vv{F}_{\text{esterne}} = (m_1 + m_2 + \cdots)\,\vv{a}$ dove $\vv{a}$ è l’accelerazione comune (se i corpi si muovono insieme). Le forze interne si cancellano.

La chiave del metodo sta proprio nell’ultima frase: le forze interne — quelle che i corpi del sistema si scambiano tra loro — si cancellano a due a due. Questo è una conseguenza diretta della terza legge di Newton: ogni forza interna è accompagnata dalla sua gemella, uguale e opposta, anch’essa interna al sistema. Sommando tutte le forze che agiscono sui corpi del sistema, ogni coppia azione–reazione interna dà contributo nullo, e sopravvivono soltanto le forze esterne, cioè quelle esercitate da corpi che non fanno parte del sistema. A destra dell’uguaglianza compare la massa totale, semplice somma delle masse dei singoli corpi.

Tip

Scrivere la seconda legge per il sistema dà l’accelerazione $\vv{a}$ direttamente, senza dover fare i conti con le forze interne. Una volta nota $\vv{a}$, si torna al singolo corpo, gli si applica di nuovo la seconda legge e si ricavano le forze interne cercate.

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When several bodies move together — two blocks in contact being pushed, a train of carriages, a pulley with two connected masses — we are often not interested, in the first instance, in knowing the forces they exchange internally, but only in the common acceleration of the whole. In these cases it is convenient to treat the entire group of bodies as a single system and apply Newton’s second law to it.

Principle — Second law for a system

$\sum \vv{F}_{\text{esterne}} = (m_1 + m_2 + \cdots)\,\vv{a}$ where $\vv{a}$ is the common acceleration (if the bodies move together). The internal forces cancel out.

The key to the method lies precisely in the last sentence: the internal forces — those that the bodies of the system exchange with one another — cancel out in pairs. This is a direct consequence of Newton’s third law: every internal force is accompanied by its twin, equal and opposite, also internal to the system. Summing all the forces acting on the bodies of the system, every internal action–reaction pair contributes zero, and only the external forces survive, that is, those exerted by bodies that are not part of the system. On the right-hand side of the equality appears the total mass, simply the sum of the masses of the individual bodies.

Tip

Writing the second law for the system gives the acceleration $\vv{a}$ directly, without having to deal with the internal forces. Once $\vv{a}$ is known, one returns to the single body, applies the second law to it again, and derives the internal forces sought.

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