Piano inclinato e moto circolare

Due tra le applicazioni più importanti della seconda legge di Newton: il piano inclinato e il moto circolare. Entrambi richiedono una scelta intelligente degli assi di riferimento e una buona padronanza della scomposizione vettoriale. Il capitolo passa dalla dinamica sul piano inclinato (con attrito, molle, pulegge) alle connessioni tra dischi rotanti, fino alla forza centripeta e al giro della morte.

Sezioni

• Il piano inclinato
• Funi e pulegge
• Ingranaggi, dischi coassiali e pulegge
• Forza centripeta
• Il giro della morte

Riflessioni

• Si può accelerare senza cambiare velocità?
• Tre regole, una sola idea

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Two of the most important applications of Newton’s second law: the inclined plane and circular motion. Both require a clever choice of reference axes and a solid grasp of vector resolution. The chapter moves from dynamics on the inclined plane (with friction, springs, pulleys) to connections between rotating discs, up to the centripetal force and the loop-the-loop.

Sections

• The inclined plane
• Strings and pulleys
• Gears, coaxial discs and pulleys
• Centripetal force
• The loop-the-loop

Reflections

• Can you accelerate without changing speed?
• Three rules, one idea

Exercises

• All the chapter’s worked exercises

Uno dei problemi più affascinanti della meccanica: un oggetto che percorre un loop verticale (il giro della morte) restando aderente alla pista. Il momento critico è la sommità del loop, dove sia il peso $\vec{P}$ che la reazione vincolare $\vec{R}$ puntano entrambi verso il centro (verso il basso).

Giro della morte. Al punto B (sommità), sia il peso $\vec{P}$ che la reazione $\vec{R}$ puntano verso il centro. La condizione $R \geq 0$ impone $v_B \geq \sqrt{gr}$.

Alla sommità, la somma di peso e reazione fornisce la forza centripeta: $P + R = mv_B^2/r$, cioè $mg + R = mv_B^2/r$. La chiave fisica è che la pista può solo spingere, non tirare: la reazione vincolare deve essere $R \geq 0$. Imponendo questa condizione si ottiene la velocità minima al vertice.

Principio — Condizione per completare il loop

Alla sommità del loop la reazione vincolare deve essere $R \geq 0$ (la pista può solo spingere). Questo impone una velocità minima: $\ev{v_{\min}^2 = g\,r}$ dove $r$ è il raggio del loop.

Al di sotto di $v_{\min}$ la gravità è più della forza centripeta richiesta: il corpo si stacca dalla pista e cade verso l’interno. Per trovare da quale altezza far partire il corpo affinché arrivi in cima con almeno $v_{\min}$, si usa la conservazione dell’energia (vedi Il giro della morte: approccio energetico), che dà l’elegante risultato $h = \tfrac{5}{2}r$.

I loop veri non sono circolari

Nei veri “loop” dei parchi giochi e delle montagne russe, la forma non è circolare ma una clotoide (spirale di Eulero): il raggio diminuisce andando verso l’alto, permettendo di completare il giro con una velocità minore e forze $g$ meno violente sul corpo.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Forza normale · Conservazione dell’energia meccanica Oggetti: Giro della morte

Esercizi collegati: Velocità massima in curva piana · Angolo di sopraelevazione della curva · Curva piana asciutta e bagnata

One of the most fascinating problems in mechanics: an object travelling round a vertical loop (the loop-the-loop) while staying in contact with the track. The critical moment is the top of the loop, where both the weight $\vec{P}$ and the normal reaction $\vec{R}$ point both towards the centre (downwards).

Loop-the-loop. At point B (the top), both the weight $\vec{P}$ and the reaction $\vec{R}$ point towards the centre. The condition $R \geq 0$ requires $v_B \geq \sqrt{gr}$.

At the top, the sum of weight and reaction supplies the centripetal force: $P + R = mv_B^2/r$, i.e. $mg + R = mv_B^2/r$. The physical key is that the track can only push, not pull: the normal reaction must satisfy $R \geq 0$. Imposing this condition gives the minimum speed at the top.

Principle — Condition to complete the loop

At the top of the loop the normal reaction must be $R \geq 0$ (the track can only push). This imposes a minimum speed: $\ev{v_{\min}^2 = g\,r}$ where $r$ is the radius of the loop.

Below $v_{\min}$ gravity exceeds the required centripetal force: the body leaves the track and falls inwards. To find from what height the body must start so that it reaches the top with at least $v_{\min}$, energy conservation is used (see The loop-the-loop: an energy approach), which gives the elegant result $h = \tfrac{5}{2}r$.

Real loops are not circular

In real “loops” in theme parks and roller coasters, the shape is not circular but a clothoid (Euler spiral): the radius decreases going upwards, allowing the loop to be completed at a lower speed and with less violent $g$-forces on the body.

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Topics: Dynamics Concepts: Centripetal force · Normal force · Conservation of mechanical energy Objects: Loop-the-loop

Related exercises: Maximum speed on a flat curve · Banking angle of the curve · Flat curve, dry and wet

A prima vista sembra un paradosso. Abbiamo imparato che accelerazione vuol dire “variazione di velocità”. Come fa allora una palla che gira a velocità costante lungo una circonferenza a essere accelerata?

Il nodo è che la velocità è un vettore, non un numero. Anche se il suo modulo resta fermo, la sua direzione cambia a ogni istante: la freccia che rappresenta $\vec{v}$ ruota continuamente per restare tangente alla traiettoria. E variare la direzione di un vettore è variare il vettore, anche a modulo costante. La meccanica ci costringe a prendere sul serio quella freccia e il suo cambio di orientamento.

Non è un dettaglio tecnico. È il motivo per cui la Luna “cade” continuamente verso la Terra senza mai cadere davvero: la gravità terrestre non cambia la rapidità della Luna, ma piega di continuo la sua traiettoria, deviandola dalla linea retta che seguirebbe per inerzia. “Modulo costante” non significa “accelerazione nulla” — e questa distinzione, sottile ma decisiva, è il cuore di tutto il moto circolare.

Prova tu — simulazione interattiva

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Argomenti: Dinamica Concetti: Accelerazione centripeta · Moto circolare uniforme

Esercizi collegati: Accelerazione centripeta di un punto · Perché il moto circolare è accelerato · Dimostrazione dell’accelerazione centripeta

At first sight it seems a paradox. We have learnt that acceleration means “change in velocity”. So how can a ball moving at constant speed round a circle be accelerated?

The crux is that velocity is a vector, not a number. Even if its magnitude stays fixed, its direction changes at every instant: the arrow representing $\vec{v}$ rotates continuously to remain tangent to the trajectory. And changing the direction of a vector is changing the vector, even at constant magnitude. Mechanics forces us to take that arrow, and its change of orientation, seriously.

This is not a technical detail. It is why the Moon continually “falls” towards the Earth without ever actually falling: Earth’s gravity does not change the Moon’s speed, but continuously bends its trajectory, deflecting it from the straight line it would follow through inertia. “Constant magnitude” does not mean “zero acceleration” — and this distinction, subtle but decisive, is at the heart of all circular motion.

Try it — interactive simulation

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Topics: Dynamics Concepts: Centripetal acceleration · Uniform circular motion

Related exercises: Centripetal acceleration of a point · Why circular motion is accelerated · Derivation of centripetal acceleration

Ingranaggi, dischi coassiali, cinghie: tre situazioni meccanicamente diverse, e tre regolette che a prima vista sembrano arbitrarie. Eppure, se le guardi con attenzione, scopri che derivano tutte da un’unica condizione fisica elementare: nessuna parte del sistema può “slittare” in modo inconsistente con i vincoli imposti dal contatto rigido.

Nel caso degli ingranaggi, sono i denti che impediscono lo scivolamento; nei dischi coassiali, è il fatto che le fibre dell’asse non si possano deformare; nella cinghia, è l’aderenza con la superficie. Tre vincoli diversi, ma tutti del medesimo tipo: cinematici. La fisica, vista così, somiglia a una geometria di vincoli: pochi principi che si declinano in molte situazioni concrete (Battimelli e Stilli 1999, § 1.2).

È una lezione che va oltre i dischi rotanti. Gran parte della meccanica dei sistemi vincolati — funi, pulegge, ruote che rotolano — si riduce a poche condizioni cinematiche di questo tipo. Riconoscere il vincolo comune dietro regole apparentemente slegate è un modo per ridurre la fisica alle sue idee portanti, invece di moltiplicare le formule da ricordare.

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Argomenti: Dinamica Concetti: Velocità angolare Oggetti: Ingranaggi e dischi coassiali

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Gears, coaxial discs, belts: three mechanically different situations, and three little rules that at first sight seem arbitrary. Yet, looked at closely, they all turn out to derive from a single elementary physical condition: no part of the system can “slip” in a way inconsistent with the constraints imposed by rigid contact.

For gears, it is the teeth that prevent slipping; for coaxial discs, it is the fact that the fibres of the shaft cannot deform; for the belt, it is the grip on the surface. Three different constraints, but all of the same type: kinematic. Physics, seen this way, resembles a geometry of constraints: a few principles that play out in many concrete situations (Battimelli and Stilli 1999, § 1.2).

It is a lesson that goes beyond rotating discs. Much of the mechanics of constrained systems — ropes, pulleys, rolling wheels — reduces to a handful of kinematic conditions of this kind. Recognising the common constraint behind seemingly unrelated rules is a way to reduce physics to its guiding ideas, rather than multiplying the formulas to remember.

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Topics: Dynamics Concepts: Angular velocity Objects: Gears and coaxial discs

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