Cicli e macchine termiche

Nel capitolo precedente abbiamo scoperto che una trasformazione è reversibile se e solo se l’entropia totale non cambia: $\Delta S_\text{tot} = 0$. Questa condizione seleziona un insieme speciale di trasformazioni ideali — le uniche rappresentabili come curve ben definite nel diagramma $P$-$V$. Su di esse si costruiscono le macchine termiche: dispositivi ciclici che trasformano calore in lavoro (motori) o lavoro in calore (frigoriferi, pompe di calore). Il capitolo culmina nel ciclo di Carnot e nel suo rendimento massimo, tetto universale imposto dal secondo principio.

Sezioni

• Le trasformazioni reversibili
• I diagrammi P-V e ln P – ln V
• Cicli termodinamici
• Macchine termiche e rendimento
• Risolvere un ciclo completo

Riflessioni

• Il prezzo del lavoro
• Perché Carnot è un faro

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In the previous chapter we discovered that a transformation is reversible if and only if the total entropy does not change: $\Delta S_\text{tot} = 0$. This condition selects a special set of ideal transformations — the only ones representable as well-defined curves on the $P$-$V$ diagram. On these are built heat engines: cyclic devices that turn heat into work (engines) or work into heat (refrigerators, heat pumps). The chapter culminates in the Carnot cycle and its maximum efficiency, a universal ceiling imposed by the second law.

Sections

• Reversible transformations
• P-V and ln P – ln V diagrams
• Thermodynamic cycles
• Heat engines and efficiency
• Solving a complete cycle

Reflections

• The price of work
• Why Carnot is a beacon

Exercises

• All worked exercises of the chapter

Analizzare un ciclo termodinamico può sembrare complicato, ma diventa meccanico se si segue un metodo sistematico in quattro passi. L’idea di fondo è separare due livelli: prima si fissano gli stati (i vertici del ciclo), poi si studiano i processi (i tratti che collegano i vertici).

1. Identificare i processi. Riconoscere il tipo di ogni trasformazione (isoterma, isocora, isobara, adiabatica, …): stabilire quali sono reversibili e quali vincoli valgono su ciascun tratto (ad esempio $T$ costante, oppure $Q = 0$).
2. Tabella degli stati. Per ogni vertice del ciclo calcolare la terna $P$, $V$, $T$ usando la legge dei gas perfetti $PV = nRT$ e le relazioni specifiche del processo che porta a quel vertice.
3. Tabella dei processi. Per ogni tratto calcolare le quattro grandezze di scambio: il calore $Q$, il lavoro del gas $L_\text{gas}$, la variazione di energia interna $\Delta E_\text{int}$ e la variazione di entropia $\Delta S_\text{gas}$.
4. Verifiche. Controllare la coerenza dei conti chiudendo il ciclo.

Verifiche di chiusura del ciclo

Su un ciclo completo le funzioni di stato tornano al valore iniziale, quindi: $\begin{aligned} \Delta E_\text{int,ciclo} &= 0 \\ \Delta S_\text{gas,ciclo} &= 0 \\ L_\text{netto} &= Q_H - |Q_C| \end{aligned}$ Se una di queste tre relazioni non torna, c’è un errore in una riga della tabella: sono un potente controllo automatico dei calcoli.

Il primo principio garantisce che $\Delta E_\text{int} = 0$ su ogni ciclo chiuso, perché l’energia interna è una funzione di stato; per lo stesso motivo anche l’entropia del gas torna al valore di partenza. Il lavoro netto, invece, non è nullo: è la differenza fra il calore assorbito e quello ceduto, e nel piano $P$-$V$ coincide con l’area racchiusa dal ciclo.

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Argomenti: Macchine termiche Concetti: Primo principio della termodinamica Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico Metodi: Diagramma P-V e ln P - ln V

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Analysing a thermodynamic cycle can seem complicated, but it becomes mechanical if a systematic method in four steps is followed. The underlying idea is to separate two levels: first the states (the vertices of the cycle) are fixed, then the processes (the segments connecting the vertices) are studied.

1. Identify the processes. Recognise the type of each transformation (isothermal, isochoric, isobaric, adiabatic, …): establish which are reversible and which constraints hold on each segment (for example constant $T$, or $Q = 0$).
2. Table of states. For each vertex of the cycle compute the triplet $P$, $V$, $T$ using the ideal gas law $PV = nRT$ and the specific relations of the process leading to that vertex.
3. Table of processes. For each segment compute the four exchange quantities: heat $Q$, work done by the gas $L_\text{gas}$, change in internal energy $\Delta E_\text{int}$ and change in entropy $\Delta S_\text{gas}$.
4. Checks. Verify the consistency of the calculations by closing the cycle.

Cycle-closure checks

Over a complete cycle the state functions return to their initial value, so: $\begin{aligned} \Delta E_\text{int,ciclo} &= 0 \\ \Delta S_\text{gas,ciclo} &= 0 \\ L_\text{netto} &= Q_H - |Q_C| \end{aligned}$ If one of these three relations does not hold, there is an error in a row of the table: they are a powerful automatic check on the calculations.

The first law guarantees that $\Delta E_\text{int} = 0$ over every closed cycle, because internal energy is a state function; for the same reason the entropy of the gas also returns to its starting value. The net work, on the other hand, is not zero: it is the difference between the heat absorbed and that released, and in the $P$-$V$ plane it coincides with the area enclosed by the cycle.

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Topics: Macchine termiche Concepts: Primo principio della termodinamica Skills: Risoluzione di un ciclo termodinamico Methods: Diagramma P-V e ln P - ln V

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Il prezzo del lavoro

Non esiste un pasto gratis, dice un vecchio adagio della fisica, ma forse vale anche il contrario: non esiste lavoro gratis. La seconda legge, nella sua formulazione operativa (Clausius, Kelvin), ci informa che per estrarre lavoro da un serbatoio caldo dobbiamo sempre scartarne una parte in un serbatoio freddo. La frazione utilizzabile non è mai il $100\%$, ed è limitata dal rendimento di Carnot $1 - T_f/T_c$.

Questa “tassa” termodinamica è ovunque, una volta che si impara a vederla. È il motivo per cui il frigorifero scalda la cucina invece di raffreddarla nel suo complesso; è il motivo per cui le centrali termoelettriche hanno sempre un “cimitero del calore” — le torri di raffreddamento — dove disperdono l’energia che non sono riuscite a convertire; è il motivo per cui non si può costruire il moto perpetuo, per quanto ingegnoso sia il meccanismo.

La termodinamica, più di ogni altra disciplina fisica, ci insegna a convivere con i vincoli imposti dalla natura: non ci dice solo cosa possiamo fare, ma soprattutto cosa non potremo mai fare.

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The price of work

There is no such thing as a free lunch, says an old physics adage, but perhaps the opposite also holds: there is no free work. The second law, in its operational formulation (Clausius, Kelvin), tells us that to extract work from a hot reservoir we must always discard part of it into a cold reservoir. The usable fraction is never $100\%$, and is bounded by the Carnot efficiency $1 - T_f/T_c$.

This thermodynamic “tax” is everywhere, once one learns to see it. It is why the refrigerator warms the kitchen instead of cooling it overall; it is why thermoelectric power plants always have a “heat graveyard” — the cooling towers — where they dissipate the energy they failed to convert; it is why perpetual motion cannot be built, however ingenious the mechanism.

Thermodynamics, more than any other physical discipline, teaches us to live with the constraints imposed by nature: it tells us not only what we can do, but above all what we will never be able to do.

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Perché Carnot è un faro: il rendimento massimo come "muro" della natura

Il ciclo di Carnot è una macchina che nessuno costruirà mai: le sue trasformazioni sono perfettamente reversibili, dunque infinitamente lente, dunque di potenza nulla. Eppure il suo rendimento $\eta_C = 1 - T_f/T_c$ è una delle quantità più importanti della fisica. Perché? Perché fissa un tetto universale che nessun motore termico, per quanto raffinato, potrà mai superare. Una centrale a vapore con turbina ad alta pressione, un motore d’auto, una cellula muscolare che converte ATP in lavoro meccanico: tutti devono rispettare questo limite, perché è una diretta conseguenza del secondo principio.

C’è qualcosa di rivoluzionario in questo modo di ragionare. Carnot, nel 1824, non parte dal funzionamento concreto di una macchina per calcolarne le perdite; parte da un’astrazione — il ciclo ideale reversibile — e dimostra che, qualunque cosa esista realmente, dovrà avere rendimento minore o uguale all’ideale. È un argomento di impossibilità: “non si può fare di meglio”. La fisica del Novecento erediterà questo modo di pensare — si pensi al teorema di Bell, al limite di Planck per la radiazione, al principio di indeterminazione — e ne farà uno dei suoi strumenti distintivi.

C’è anche una conseguenza pratica importante. Il rapporto $T_f/T_c$ dice che aumentare la temperatura della sorgente calda è molto più efficace, per il rendimento, che diminuire quella della sorgente fredda: è per questo che i forni industriali si spingono a temperature estreme. Ed è per la stessa ragione che le centrali termoelettriche perdono efficienza nelle estati più torride: il fiume in cui scaricano il calore residuo, più caldo del solito, fa salire $T_f$ e il rendimento di Carnot scende. Le leggi della termodinamica si manifestano anche nel paesaggio energetico globale, non solo nel pistone di un motore.

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Why Carnot is a beacon: maximum efficiency as nature's "wall"

The Carnot cycle is an engine that no one will ever build: its transformations are perfectly reversible, hence infinitely slow, hence of zero power. And yet its efficiency $\eta_C = 1 - T_f/T_c$ is one of the most important quantities in physics. Why? Because it sets a universal ceiling that no heat engine, however refined, can ever exceed. A steam plant with a high-pressure turbine, a car engine, a muscle cell converting ATP into mechanical work: all must respect this limit, because it is a direct consequence of the second law.

There is something revolutionary in this way of reasoning. Carnot, in 1824, does not start from the concrete workings of an engine to calculate its losses; he starts from an abstraction — the ideal reversible cycle — and shows that, whatever actually exists, it must have an efficiency lower than or equal to the ideal one. It is an impossibility argument: “one cannot do better.” Twentieth-century physics would inherit this way of thinking — think of Bell’s theorem, Planck’s limit for radiation, the uncertainty principle — and would make it one of its distinctive tools.

There is also an important practical consequence. The ratio $T_f/T_c$ shows that raising the temperature of the hot source is far more effective for efficiency than lowering that of the cold source: this is why industrial furnaces push to extreme temperatures. And it is for the same reason that thermoelectric power plants lose efficiency in the hottest summers: the river into which they discharge residual heat, warmer than usual, raises $T_f$ and the Carnot efficiency drops. The laws of thermodynamics also show up in the global energy landscape, not only in an engine’s piston.

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