Campo elettrico e potenziale

La forza di Coulomb descrive l’interazione diretta tra cariche. Il campo elettrico è un modo più generale di pensare a questa interazione: ogni carica crea un campo nello spazio circostante, e le altre cariche sentono la forza attraverso questo campo. Questo capitolo costruisce il paradigma del campo — linee di campo, superfici equipotenziali, teorema di Gauss — introduce il potenziale come energia per unità di carica, studia conduttori, condensatori e dielettrici, e chiude con l’idea che il campo è una cosa fisica che contiene energia.

Sezioni

• Il campo elettrico
• Teorema di Gauss
• Potenziale elettrico e circuitazione
• Conduttori in equilibrio elettrostatico
• Condensatore e dielettrici
• Densità di energia del campo

Riflessioni

• Il campo è una cosa o un calcolo?
• Perché inventare il campo?

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Coulomb’s force describes the direct interaction between charges. The electric field is a more general way of thinking about this interaction: every charge creates a field in the surrounding space, and other charges feel the force through this field. This chapter builds the field paradigm — field lines, equipotential surfaces, Gauss’s theorem — introduces potential as energy per unit charge, studies conductors, capacitors and dielectrics, and closes with the idea that the field is a physical thing that contains energy.

Sections

• The electric field
• Gauss’s theorem
• Electric potential and circulation
• Conductors in electrostatic equilibrium
• Capacitor and dielectrics
• Energy density of the field

Reflections

• Is the field a thing or a calculation?
• Why invent the field?

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Un conduttore contiene cariche libere, tipicamente elettroni, in grado di muoversi al suo interno. Quando non scorre corrente si dice che il conduttore è in regime elettrostatico: le cariche si sono ridistribuite fino a raggiungere una configurazione di equilibrio in cui nulla più si muove. Da questa semplice condizione di equilibrio discendono, in modo necessario, tre proprietà fondamentali.

Principio — Conduttori in equilibrio

1. Campo interno nullo. All’interno del conduttore $\ev{\vec{E}=0}$.
2. Cariche in superficie. Tutta la carica in eccesso si accumula sulla superficie esterna.
3. Campo perpendicolare. Appena fuori dalla superficie il campo è perpendicolare ad essa e vale $\ev{E_{\text{sup}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}}$ dove $\sigma$ è la densità superficiale locale di carica.

Formula chiave

Conduttore in equilibrio: $\vec{E}_{\text{interno}} = 0$ $E_{\text{sup}} = \sigma/\varepsilon_0 \qquad (\sigma = \text{densità superficiale})$

Perché $\vec{E}=0$ dentro? Se all’interno del conduttore esistesse un campo, le cariche libere sentirebbero una forza e si metterebbero in moto, contraddicendo l’ipotesi di equilibrio. L’unica configurazione stazionaria possibile è dunque quella in cui il campo interno è nullo: le cariche si dispongono proprio in modo da annullare, punto per punto, ogni campo residuo dentro il metallo.

Perché le cariche stanno in superficie? Basta applicare il teorema di Gauss a una superficie chiusa tracciata appena sotto la superficie del conduttore. Poiché $\vec{E}=0$ ovunque all’interno, il flusso attraverso quella superficie è nullo, e quindi anche la carica racchiusa è nulla. Ne segue che tutta la carica in eccesso deve trovarsi sulla superficie esterna, l’unica regione non coperta dal ragionamento.

Cavità interne e gabbia di Faraday. Se il conduttore possiede una cavità vuota al suo interno, lo stesso argomento di Gauss dimostra che il campo nella cavità è nullo e che le pareti della cavità sono scariche. Questo è il principio della gabbia di Faraday: un guscio conduttore scherma completamente il proprio interno da qualsiasi campo esterno. Le applicazioni sono numerose: la schermatura elettromagnetica di apparati sensibili, le cabine di alta tensione che proteggono gli operatori, gli schermi coassiali che avvolgono i cavi di segnale.

Schermatura parziale

La gabbia di Faraday funziona anche in modo parziale: un guscio conduttore con piccoli fori riduce comunque in misura significativa il campo interno, pur senza annullarlo del tutto.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Conduttori in equilibrio elettrostatico · Campo elettrico · Teorema di Gauss

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A conductor contains free charges, typically electrons, able to move within it. When no current flows, the conductor is said to be in an electrostatic regime: the charges have redistributed themselves until reaching an equilibrium configuration in which nothing moves any more. From this simple equilibrium condition, three fundamental properties follow necessarily.

Principle — Conductors in equilibrium

1. Zero internal field. Inside the conductor $\ev{\vec{E}=0}$.
2. Charges on the surface. All the excess charge accumulates on the outer surface.
3. Perpendicular field. Just outside the surface the field is perpendicular to it and equals $\ev{E_{\text{sup}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}}$ where $\sigma$ is the local surface charge density.

Key formula

Conductor in equilibrium: $\vec{E}_{\text{interno}} = 0$ $E_{\text{sup}} = \sigma/\varepsilon_0 \qquad (\sigma = \text{surface density})$

Why is $\vec{E}=0$ inside? If a field existed inside the conductor, the free charges would feel a force and start moving, contradicting the equilibrium hypothesis. The only possible stationary configuration is therefore one in which the internal field is zero: the charges arrange themselves so as to cancel, point by point, any residual field inside the metal.

Why do the charges sit on the surface? It suffices to apply Gauss’s theorem to a closed surface drawn just below the conductor’s surface. Since $\vec{E}=0$ everywhere inside, the flux through that surface is zero, and hence the enclosed charge is also zero. It follows that all the excess charge must lie on the outer surface, the only region not covered by this reasoning.

Internal cavities and the Faraday cage. If the conductor has an empty cavity inside it, the same Gaussian argument shows that the field in the cavity is zero and that the cavity walls are uncharged. This is the principle of the Faraday cage: a conducting shell completely shields its interior from any external field. The applications are numerous: electromagnetic shielding of sensitive equipment, high-voltage cabins that protect operators, coaxial screens that wrap signal cables.

Partial shielding

The Faraday cage also works partially: a conducting shell with small holes still significantly reduces the internal field, even without cancelling it entirely.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Conductors in electrostatic equilibrium · Electric field · Gauss’s theorem

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Riflessione

Nel 1800 si discuteva animatamente se “il campo elettrico” fosse una vera entità fisica o solo un comodo trucco matematico per calcolare le forze. La discussione sembra oziosa, ma ha implicazioni enormi: se il campo è solo un calcolo, le cariche agiscono a distanza; se è un’entità fisica, la forza è trasmessa localmente, a velocità finita.

Maxwell, con le sue equazioni, e poi Einstein, con la relatività, hanno dato la risposta: il campo è una cosa. Ha energia, ha impulso, si propaga con velocità $c$. Quando in questo capitolo parliamo di “densità di energia del campo” non stiamo usando una metafora: stiamo dicendo che lo spazio, dove c’è campo, contiene energia proprio come il bicchiere contiene acqua.

Questa è forse la rivoluzione concettuale più importante dell’Ottocento scientifico. Il vuoto smette di essere un palcoscenico passivo e diventa esso stesso un serbatoio fisico: pieno di campo, e quindi pieno di energia, di impulso, di dinamica propria. Da qui in avanti la fisica non parlerà più solo di particelle, ma di campi che vivono, si propagano e trasportano — anche in assenza di qualunque materia.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo · Campo elettrico

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Reflection

In the 1800s there was heated debate over whether “the electric field” was a genuine physical entity or just a convenient mathematical trick for calculating forces. The discussion seems idle, but it has enormous implications: if the field is merely a calculation, charges act at a distance; if it is a physical entity, the force is transmitted locally, at a finite speed.

Maxwell, with his equations, and then Einstein, with relativity, gave the answer: the field is a thing. It has energy, it has momentum, it propagates at speed $c$. When in this chapter we speak of “field energy density” we are not using a metaphor: we are saying that space, wherever there is a field, contains energy just as a glass contains water.

This is perhaps the most important conceptual revolution of nineteenth-century science. The vacuum stops being a passive stage and becomes itself a physical reservoir: full of field, and hence full of energy, momentum, and its own dynamics. From here on, physics no longer speaks only of particles, but of fields that live, propagate and carry things — even in the absence of any matter.

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Riflessione

A prima vista, parlare di “campo” elettrico sembra un raddoppio di parole: in fondo, dato un sistema di cariche, conosciamo già la legge di Coulomb e sappiamo calcolare la forza che agisce su una carica di prova in qualunque punto. Perché introdurre allora $\vec{E}$, che ci dice in pratica la stessa cosa, una volta divisa per la carica di prova?

La risposta è che il vero salto concettuale arriva quando ci accorgiamo che anche dove non c’è una carica di prova, il campo c’è ugualmente: è una proprietà dello spazio attribuibile alle sorgenti, non una proprietà della carica di prova. Questo ribaltamento, fatto da Faraday e poi formalizzato da Maxwell, sembra una finezza ma cambia tutto: prepara la strada all’idea che le interazioni si propaghino nel mezzo (con velocità finita), che il campo possa avere energia propria, che la radiazione elettromagnetica possa esistere indipendentemente dalle sorgenti che l’hanno generata — cosa che Coulomb non avrebbe mai potuto descrivere con la sua legge nuda.

Vista così, il campo non è “la stessa cosa detta in modo diverso”: è un’ipotesi ontologica che si rivela poi indispensabile. Ne riparleremo a proposito delle onde elettromagnetiche (Einstein e Infeld 1938; Battimelli e Stilli 1999). Vedi anche Riferimenti bibliografici.

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Reflection

At first sight, talking about an electric “field” seems like a doubling-up of words: after all, given a system of charges, we already know Coulomb’s law and know how to calculate the force acting on a test charge at any point. Why then introduce $\vec{E}$, which in practice tells us the same thing, once divided by the test charge?

The answer is that the real conceptual leap comes when we realise that even where there is no test charge, the field is there all the same: it is a property of space attributable to the sources, not a property of the test charge. This reversal, made by Faraday and then formalised by Maxwell, seems a subtlety but changes everything: it paves the way for the idea that interactions propagate through the medium (at finite speed), that the field can have its own energy, that electromagnetic radiation can exist independently of the sources that generated it — something Coulomb’s bare law could never have described.

Seen this way, the field is not “the same thing said differently”: it is an ontological hypothesis that later proves indispensable. We will return to this in connection with electromagnetic waves (Einstein and Infeld 1938; Battimelli and Stilli 1999). See also Riferimenti bibliografici.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Electric field

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