Grandezze fisiche, stime, equilibrio

Prima di affrontare il moto e le forze conviene prendere confidenza con gli strumenti di base del fisico: le grandezze fisiche, le unità di misura, le stime degli ordini di grandezza, i vettori e i primi concetti di forza ed equilibrio. Questo capitolo introduttivo funziona da ripasso del primo biennio: molti temi torneranno con più formalismo nei capitoli successivi. Chiude con la statica dei fluidi (pressione, Stevino, Pascal, Archimede) e una pillola di fluidodinamica.

Da Aristotele a Galileo: la fisica come "filosofia naturale"

La fisica parte da domande — che cos’è? come è fatto? come funziona? perché? Nell’antichità questi interrogativi erano parte della filosofia naturale: da Aristotele in poi, per secoli il metodo prevalente fu “pensare e dedurre”. Fu Galileo, all’inizio del Seicento, a cambiare le regole del gioco: le risposte sulla natura devono essere oggettive (tutti gli osservatori devono concordare, il risultato non deve dipendere da chi pone la domanda). Per renderle tali servono la misurazione e la matematica. Come scrisse Galileo, il libro della natura “è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche” (Il Saggiatore, 1623). Ogni affermazione è una misura, ogni legge è un’equazione.

La fisica come caccia al tesoro

Un problema di fisica assomiglia a una caccia al tesoro: c’è un punto di partenza, il tesoro, e un territorio da esplorare in mezzo. Sei strumenti mentali guidano ogni esercizio del sito:

Attraccare — leggere bene il testo (dati, unità, ipotesi implicite: oltre metà degli errori nasce qui).

Equipaggiamento — elencare formule, leggi e concetti che potrebbero servire.

Il tesoro — identificare con precisione la grandezza da trovare.

Costruire nuovi utensili — introdurre un sistema di riferimento, una variabile ausiliaria, un diagramma.

Specializzare (analisi) — esaminare un pezzetto di problema, un caso particolare.

Generalizzare (sintesi) — chiedersi se il risultato rientra in un pattern più grande.

E due voci ti accompagnano sempre: il nemico interiore (l’avvocato del diavolo, “ma sei sicuro?”) e il bambino ingenuo (che fa le domande apparentemente stupide, ma spesso smaschera le convinzioni sbagliate).

Sezioni

Riflessioni

Che cosa vuol dire misurare?

Esercizi

Raccolta di esercizi svolti e problemi

Before tackling motion and forces, it is worth getting comfortable with the physicist’s basic tools: physical quantities, units of measurement, order-of-magnitude estimates, vectors and the first concepts of force and equilibrium. This introductory chapter serves as a review of the first two years of secondary school: many topics will return with more formalism in later chapters. It closes with fluid statics (pressure, Stevin’s law, Pascal, Archimedes) and a taste of fluid dynamics.

From Aristotle to Galileo: physics as "natural philosophy"

Physics starts from questions — what is it? what is it made of? how does it work? why? In antiquity these questions were part of natural philosophy: from Aristotle onwards, for centuries the prevailing method was “think and deduce”. It was Galileo, at the start of the seventeenth century, who changed the rules of the game: answers about nature must be objective (all observers must agree, the result must not depend on who asks the question). Achieving this requires measurement and mathematics. As Galileo wrote, the book of nature “is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures” (Il Saggiatore, 1623). Every statement is a measurement, every law is an equation.

Physics as a treasure hunt

A physics problem resembles a treasure hunt: there is a starting point, the treasure, and territory to explore in between. Six mental tools guide every exercise on the site:

Dock — read the text carefully (data, units, implicit assumptions: more than half of all errors originate here).

Equipment — list the formulae, laws and concepts that might be useful.

The treasure — precisely identify the quantity to be found.

Build new tools — introduce a reference frame, an auxiliary variable, a diagram.

Specialise (analysis) — examine a small piece of the problem, a particular case.

Generalise (synthesis) — ask whether the result fits into a bigger pattern.

And two voices always accompany you: the inner enemy (the devil’s advocate, “but are you sure?”) and the naive child (who asks apparently stupid questions, but often exposes mistaken assumptions).

Sections

Reflections

What does it mean to measure?

Exercises

Collection of worked exercises and problems

Un problema di Fermi è una stima rapida dell’ordine di grandezza di una quantità, spesso ottenuta partendo da pochissimi dati o addirittura solo dal senso comune. L’idea è scomporre una domanda apparentemente impossibile in una catena di stime più semplici, ciascuna delle quali possiamo azzardare con ragionevolezza, e poi combinarle. Il fisico Enrico Fermi era celebre per queste stime “al volo”, tanto che oggi portano il suo nome.

Contesto storico — Fermi e la bomba atomica di Alamogordo

Il 16 luglio 1945, durante il primo test atomico (Trinity) nel deserto del New Mexico, Enrico Fermi lasciò cadere alcuni pezzetti di carta subito dopo l’esplosione. Osservando di quanto li spinse via il fronte d’onda, stimò sul posto la potenza della bomba in circa 10 kilotoni: una stima straordinariamente vicina al valore vero (18 kilotoni). Aveva usato solo carta e un cronometro mentale (Rhodes 1986, cap. 8; vedi Riferimenti bibliografici).

Quanti accordatori di pianoforte ci sono a Milano?

È il classico problema di Fermi. Non conosciamo la risposta, ma possiamo stimarla per passi successivi:

Abitanti di Milano: $\sim 10^6$

Pianoforti in città: circa 1 ogni 100 famiglie, cioè $\sim 10^4$

Accordature che un accordatore fa in un anno: $\sim 10^3$

Numero di accordatori: $10^4 / 10^3 \approx 10$

Il risultato è dell’ordine di 10: potrebbero essere 5 o 20, ma di certo non 1 né 100. Ed è proprio questo che ci interessa, l’ordine di grandezza.

Perché le stime di Fermi funzionano?

L’idea è che, quando si combinano più quantità con un prodotto o una divisione, gli errori relativi tendono a compensarsi. Se sottostimi un fattore del 30 % e ne sovrastimi un altro del 30 %, il risultato finale resta circa corretto. Per questo la stima dell’ordine di grandezza di solito “azzecca” il valore vero a meno di un fattore 10, e spesso molto meglio.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Stime di Fermi

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il rubinetto che perde · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Problema — Volume di un parallelepipedo

A Fermi problem is a quick estimate of the order of magnitude of a quantity, often obtained starting from very little data, or even just common sense. The idea is to break down an apparently impossible question into a chain of simpler estimates, each of which we can reasonably guess, and then combine them. The physicist Enrico Fermi was famous for these “on the fly” estimates, so much so that they now bear his name.

Historical context — Fermi and the Alamogordo atomic bomb

On 16 July 1945, during the first atomic test (Trinity) in the New Mexico desert, Enrico Fermi dropped a few scraps of paper right after the explosion. By observing how far the shock wave pushed them, he estimated the bomb’s yield on the spot at about 10 kilotons: a remarkably close estimate to the true value (18 kilotons). He had used only paper and a mental stopwatch (Rhodes 1986, ch. 8; see Riferimenti bibliografici).

How many piano tuners are there in Milan?

This is the classic Fermi problem. We do not know the answer, but we can estimate it step by step:

Inhabitants of Milan: $\sim 10^6$

Pianos in the city: roughly 1 per 100 households, i.e. $\sim 10^4$

Tunings a tuner does in a year: $\sim 10^3$

Number of tuners: $10^4 / 10^3 \approx 10$

The result is of the order of 10: it could be 5 or 20, but certainly not 1 nor 100. And that is exactly what interests us — the order of magnitude.

Why do Fermi estimates work?

The idea is that, when several quantities are combined by multiplication or division, the relative errors tend to cancel out. If you underestimate one factor by 30% and overestimate another by 30%, the final result remains roughly correct. This is why the order-of-magnitude estimate usually “hits” the true value to within a factor of 10, and often much better.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Stime di Fermi

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il rubinetto che perde · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Problema — Volume di un parallelepipedo

Molte grandezze non si possono misurare direttamente: l’altezza della Torre Eiffel, la distanza di una nave all’orizzonte, l’angolo del Sole sopra l’orizzonte. Si possono però calcolare usando la trigonometria: basta misurare qualcosa di più facile — l’ombra di un oggetto, una distanza al suolo, un angolo con un inclinometro — e applicare le relazioni sui triangoli rettangoli.

Formula chiave — Triangolo rettangolo

Dato un triangolo rettangolo con ipotenusa $i$ , cateto opposto $o$ e cateto adiacente $a$ rispetto all’angolo $\alpha$ : $\sin\alpha = \frac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \frac{a}{i} \qquad \tan\alpha = \frac{o}{a}$

La strategia è sempre la stessa: si individua un triangolo rettangolo in cui una grandezza incognita è un cateto (o l’ipotenusa), si misurano un lato accessibile e un angolo, e si ricava l’incognita invertendo la relazione trigonometrica opportuna. La tangente è particolarmente utile quando si conoscono i due cateti, perché lega direttamente l’angolo al loro rapporto senza bisogno dell’ipotenusa.

Contesto storico — Eratostene e la circonferenza della Terra

Nel 240 a.C. il greco Eratostene, bibliotecario di Alessandria d’Egitto, sapeva che a mezzogiorno del solstizio d’estate il Sole illuminava verticalmente il fondo di un pozzo a Syene (oggi Assuan), a sud di Alessandria. Nello stesso istante, ad Alessandria, un obelisco proiettava un’ombra corrispondente a un angolo di $7{,}2^\circ$ rispetto alla verticale.

Se la distanza Syene–Alessandria era di circa 5000 stadi, e la differenza di angolo valeva $7{,}2^\circ/360^\circ = 1/50$ del giro completo, allora la circonferenza della Terra doveva essere $50 \cdot 5000 = 250\,000$ stadi, ovvero circa $40\,000\;\text{km}$ . Il valore corretto è $40\,075\;\text{km}$ : una stima sorprendentemente precisa, ottenuta con i soli strumenti dell’antichità (Simonyi 2012, cap. 1; vedi Riferimenti bibliografici).

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Uso della trigonometria

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il rubinetto che perde · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Problema — Volume di un parallelepipedo

Many quantities cannot be measured directly: the height of the Eiffel Tower, the distance of a ship on the horizon, the angle of the Sun above the horizon. However, they can be calculated using trigonometry: it is enough to measure something easier — the shadow of an object, a distance on the ground, an angle with an inclinometer — and apply the relations for right-angled triangles.

Key formula — Right-angled triangle

Given a right-angled triangle with hypotenuse $i$ , opposite side $o$ and adjacent side $a$ with respect to angle $\alpha$ : $\sin\alpha = \frac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \frac{a}{i} \qquad \tan\alpha = \frac{o}{a}$

The strategy is always the same: identify a right-angled triangle in which an unknown quantity is a side (or the hypotenuse), measure an accessible side and an angle, and obtain the unknown by inverting the appropriate trigonometric relation. The tangent is particularly useful when both sides are known, because it links the angle directly to their ratio without needing the hypotenuse.

Historical context — Eratosthenes and the circumference of the Earth

In 240 BC the Greek Eratosthenes, librarian of Alexandria in Egypt, knew that at noon on the summer solstice the Sun lit the bottom of a well vertically at Syene (today Aswan), south of Alexandria. At the same instant, in Alexandria, an obelisk cast a shadow corresponding to an angle of $7{,}2^\circ$ from the vertical.

If the distance Syene–Alexandria was about 5000 stadia, and the angle difference amounted to $7{,}2^\circ/360^\circ = 1/50$ of a full turn, then the circumference of the Earth had to be $50 \cdot 5000 = 250\,000$ stadia, i.e. about $40\,000\;\text{km}$ . The correct value is $40\,075\;\text{km}$ : a surprisingly precise estimate, obtained with the instruments of antiquity alone (Simonyi 2012, ch. 1; see Riferimenti bibliografici).

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Uso della trigonometria

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il rubinetto che perde · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Problema — Volume di un parallelepipedo

Molte grandezze fisiche — posizione, velocità, accelerazione, forza — non sono semplici numeri, ma possiedono anche una direzione: sono vettori. Un vettore $\vec{v}$ è caratterizzato da tre elementi:

modulo $|\vec{v}|$ , un numero positivo che ne misura l’intensità;
direzione, la retta su cui giace;
verso, uno dei due orientamenti possibili lungo quella retta.

Nel piano, un vettore si rappresenta comodamente come coppia di componenti cartesiane $\vec{v} = (v_x,\, v_y)$ , cioè le proiezioni del vettore lungo gli assi $x$ e $y$ . Componenti e modulo-direzione-verso sono due descrizioni equivalenti dello stesso oggetto: si passa dall’una all’altra con la trigonometria.

Formula chiave — Modulo e componenti

Dato l’angolo $\theta$ che il vettore forma con l’asse $x$ : $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad v_x = |\vec{v}|\cos\theta \qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta \qquad \theta = \arctan\!\frac{v_y}{v_x}$

Il grande vantaggio delle componenti è che le operazioni tra vettori si eseguono componente per componente, riducendosi a semplici operazioni tra numeri:

Somma: $(a_x,\, a_y) + (b_x,\, b_y) = (a_x + b_x,\; a_y + b_y)$
Moltiplicazione per uno scalare: $k\,(v_x,\, v_y) = (k v_x,\; k v_y)$
Opposto: $-\vec{v} = (-v_x,\; -v_y)$

In pratica, per sommare due vettori conviene quasi sempre scomporli nelle loro componenti, sommare separatamente le $x$ e le $y$ , e ricomporre il risultato in modulo e direzione con le formule chiave. Questo metodo — detto delle componenti cartesiane — evita di ragionare graficamente con la regola del parallelogramma e si presta bene ai calcoli, specie quando i vettori in gioco sono più di due.

Collegamenti

Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Itinerario Imola-Lugo · Problema — Vero o falso sui vettori · Problema — Risultante di due forze

Many physical quantities — position, velocity, acceleration, force — are not simple numbers, but also possess a direction: they are vectors. A vector $\vec{v}$ is characterised by three elements:

magnitude $|\vec{v}|$ , a positive number measuring its intensity;
direction, the line along which it lies;
sense, one of the two possible orientations along that line.

In the plane, a vector is conveniently represented as a pair of Cartesian components $\vec{v} = (v_x,\, v_y)$ , i.e. the projections of the vector along the $x$ and $y$ axes. Components and magnitude-direction-sense are two equivalent descriptions of the same object: one passes from one to the other using trigonometry.

Key formula — Magnitude and components

Given the angle $\theta$ the vector forms with the $x$ axis: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad v_x = |\vec{v}|\cos\theta \qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta \qquad \theta = \arctan\!\frac{v_y}{v_x}$

The great advantage of components is that operations between vectors are carried out component by component, reducing to simple operations between numbers:

Sum: $(a_x,\, a_y) + (b_x,\, b_y) = (a_x + b_x,\; a_y + b_y)$
Multiplication by a scalar: $k\,(v_x,\, v_y) = (k v_x,\; k v_y)$
Opposite: $-\vec{v} = (-v_x,\; -v_y)$

In practice, to add two vectors it is almost always convenient to break them into their components, add the $x$ ‘s and $y$ ‘s separately, and recompose the result into magnitude and direction using the key formulae. This method — called the Cartesian components method — avoids graphical reasoning with the parallelogram rule and lends itself well to calculation, especially when more than two vectors are involved.

Collegamenti

Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Itinerario Imola-Lugo · Problema — Vero o falso sui vettori · Problema — Risultante di due forze

Un oggetto immerso in un fluido, che sia un liquido o un gas, riceve una spinta verso l’alto detta spinta di Archimede, pari al peso del fluido che il corpo sposta occupandone il posto. È questa spinta a spiegare un fatto all’apparenza paradossale: una nave d’acciaio galleggia, mentre una moneta fatta dello stesso metallo affonda. Ciò che conta non è il materiale in sé, ma quanto fluido il corpo riesce a spostare rispetto al proprio peso.

L’origine della spinta è la stessa pressione idrostatica che cresce con la profondità. Le pareti inferiori di un corpo immerso si trovano più in basso di quelle superiori e sopportano quindi una pressione maggiore: la risultante di tutte queste forze premute sulla superficie del corpo è diretta verso l’alto, e il calcolo mostra che il suo modulo coincide esattamente con il peso del fluido spostato.

Legge — Principio di Archimede

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto, opposta al peso, di modulo $\ev{|\vec{F}_A| = \rho_{\text{fluido}}\cdot V_{\text{immerso}}\cdot g = m_{\text{spostato}}\cdot g}$ dove $\rho_{\text{fluido}}$ è la densità del fluido, $V_{\text{immerso}}$ il volume di fluido spostato e $m_{\text{spostato}}$ la sua massa.

Il confronto tra la spinta e il peso del corpo decide il destino dell’oggetto. Se il corpo è più denso del fluido, il suo peso vince e affonda; se è meno denso, la spinta prevale e il corpo risale fino a galleggiare, immergendosi solo per la frazione di volume necessaria a spostare un peso di fluido pari al proprio. Poiché anche l’aria è un fluido, la spinta di Archimede agisce su tutti noi mentre camminiamo nell’atmosfera: è però piccolissima, perché la densità dell’aria è circa mille volte inferiore a quella dell’acqua, e per questo di solito la trascuriamo.

Contesto storico — Archimede e l'"Eureka!"

Secondo la leggenda, Archimede (287–212 a.C.) scoprì il suo principio mentre faceva il bagno: immergendosi nella vasca notò che il livello dell’acqua si alzava. Si alzò di scatto e corse nudo per le strade di Siracusa gridando Eureka! (“l’ho trovato!”). Il tiranno di Siracusa gli aveva chiesto di determinare se una corona fosse d’oro puro oppure di una lega con argento, e Archimede aveva capito come farlo: confrontando il volume di fluido spostato dalla corona con quello spostato da un uguale peso d’oro puro, avrebbe smascherato l’eventuale frode.

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Principio di Archimede · Pressione

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Pressa per la frutta · Esercizio svolto — Pressione del cuore · Esercizio svolto — Un pezzo di legno in acqua con benzina

An object immersed in a fluid, whether a liquid or a gas, receives an upward push called Archimedes’ thrust, equal to the weight of the fluid the body displaces by taking its place. This thrust explains an apparently paradoxical fact: a steel ship floats, while a coin made of the same metal sinks. What matters is not the material itself, but how much fluid the body manages to displace relative to its own weight.

The origin of the thrust is the same hydrostatic pressure that grows with depth. The lower walls of an immersed body lie deeper than the upper ones and therefore experience greater pressure: the resultant of all these forces pressing on the body’s surface is directed upward, and the calculation shows that its magnitude exactly matches the weight of the displaced fluid.

Law — Archimedes' principle

A body immersed in a fluid receives an upward thrust, opposite to its weight, of magnitude $\ev{|\vec{F}_A| = \rho_{\text{fluido}}\cdot V_{\text{immerso}}\cdot g = m_{\text{spostato}}\cdot g}$ where $\rho_{\text{fluido}}$ is the fluid density, $V_{\text{immerso}}$ the volume of fluid displaced and $m_{\text{spostato}}$ its mass.

The comparison between the thrust and the weight of the body decides its fate. If the body is denser than the fluid, its weight wins and it sinks; if it is less dense, the thrust prevails and the body rises until it floats, submerging only for the fraction of its volume needed to displace a weight of fluid equal to its own. Since air is also a fluid, Archimedes’ thrust acts on all of us as we walk through the atmosphere: it is, however, very small, because the density of air is about a thousand times lower than that of water, and for this reason we usually neglect it.

Historical context — Archimedes and "Eureka!"

According to legend, Archimedes (287–212 BC) discovered his principle while taking a bath: as he lowered himself into the tub, he noticed the water level rising. He leapt up and ran naked through the streets of Syracuse shouting Eureka! (“I have found it!”). The tyrant of Syracuse had asked him to determine whether a crown was pure gold or a gold-silver alloy, and Archimedes had worked out how: by comparing the volume of fluid displaced by the crown with that displaced by an equal weight of pure gold, he could expose any fraud.

Links

Topics: Fluidostatica e fluidodinamica Concepts: Principio di Archimede · Pressione

Che cosa vuol dire misurare?

Ci sembra ovvio che “misurare” voglia dire confrontare una quantità con un campione. Ma sotto quell’apparente ovvietà si nasconde una scelta molto forte.

Decidere di misurare una grandezza significa prima di tutto decidere che essa è degna di essere misurata, e altre no. Per millenni la temperatura non lo è stata: si diceva “caldo” e “freddo” senza numeri, affidandosi alla sola sensazione. Lo è diventata soltanto quando Galileo e Fahrenheit hanno legato la sensazione termica a un fenomeno misurabile: la dilatazione di un liquido dentro un tubicino graduato. Prima di quel gesto la temperatura non era una grandezza fisica; dopo, lo è diventata.

Da qui il punto più profondo: c’è grandezza solo se c’è una procedura di misura. Non basta avere un’idea intuitiva di una qualità del mondo; occorre un metodo concreto, ripetibile, che traduca quella qualità in un numero. È uno degli insegnamenti più profondi di tutta la fisica moderna, e vale ben oltre la termologia. Quando nei capitoli seguenti introdurremo l’energia, l’entropia, il campo, dovremo ogni volta chiederci quale “tubicino” — quale procedura sperimentale — permette di passare dalla sensazione al numero. Senza quella procedura, la grandezza semplicemente non esiste.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il rubinetto che perde · Esercizio svolto — Area di un rettangolo misurato · Problema — Volume di un parallelepipedo

Problem

It seems obvious that “measuring” means comparing a quantity with a reference sample. But beneath that apparent obviousness lies a very strong choice.

Deciding to measure a quantity means, first of all, deciding that it is worthy of being measured, and others are not. For millennia temperature was not: people said “hot” and “cold” without numbers, relying only on sensation. It became one only when Galileo and Fahrenheit linked thermal sensation to a measurable phenomenon: the expansion of a liquid inside a graduated tube. Before that step temperature was not a physical quantity; afterwards, it became one.

Hence the deeper point: a quantity exists only if there is a measurement procedure. It is not enough to have an intuitive idea of a quality of the world; a concrete, repeatable method is needed, one that translates that quality into a number. This is one of the deepest lessons of all modern physics, and it holds well beyond thermology. When in the following chapters we introduce energy, entropy, the field, we will each time have to ask ourselves which “little tube” — which experimental procedure — allows us to pass from sensation to number. Without that procedure, the quantity simply does not exist.

Links

Topics: Grandezze fisiche e misura

Fisica — Liceo

Explorer

Grandezze fisiche, stime, equilibrio

Sezioni

Riflessioni

Esercizi

Sections

Reflections

Exercises

Collegamenti

Collegamenti

Collegamenti

Collegamenti

Collegamenti

Collegamenti

Collegamenti

Links

Collegamenti

Links

Backlinks