Centro di massa

Finora abbiamo studiato il moto di singoli corpi. Ma quando un sistema è composto da più oggetti — frammenti di un’esplosione, pianeti in un sistema solare, palle da biliardo in collisione — esiste un punto speciale che ne riassume il comportamento globale: il centro di massa. Questo capitolo lo definisce come media pesata delle posizioni, ne studia la velocità e la seconda legge di Newton, le grandezze che vi si riassumono, il metodo dell’anti-materia per i corpi bucati, la scomposizione di König di energia cinetica e momento angolare, e introduce momento di una forza ed equilibrio del corpo rigido.

Sezioni

• Definizione e calcolo del CM
• Composizione galileiana delle velocità
• Seconda legge di Newton per il CM
• Le proprietà riassunte nel centro di massa
• Il metodo dell’anti-materia
• Energia potenziale gravitazionale del CM
• Scomposizione dell’energia cinetica
• Momento di una forza (torque)
• Momento angolare

Riflessioni

• Un punto che non esiste
• Perché il centro di massa è una nozione utile

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

So far we have studied the motion of single bodies. But when a system is made up of several objects — fragments of an explosion, planets in a solar system, billiard balls colliding — there is a special point that summarises its overall behaviour: the centre of mass. This chapter defines it as the weighted average of positions, studies its velocity and Newton’s second law, the quantities it summarises, the anti-matter method for bodies with holes, König’s decomposition of kinetic energy and angular momentum, and introduces the moment of a force and rigid-body equilibrium.

Sections

• Definition and calculation of the CM
• Galilean composition of velocities
• Newton’s second law for the CM
• The properties summarised in the centre of mass
• The anti-matter method
• Gravitational potential energy of the CM
• Decomposition of kinetic energy
• Moment of a force (torque)
• Angular momentum

Reflections

• A point that doesn’t exist
• Why the centre of mass is a useful notion

Exercises

• All the chapter’s worked exercises

Il centro di massa non è solo un comodo punto medio: obbedisce a una legge del moto sorprendentemente semplice, la seconda legge di Newton per il CM.

Legge — Seconda legge per il centro di massa

$\ev{\sum \vec{F}_{\text{esterne}} = M_{\text{tot}}\,\vec{a}_{\text{CM}}}$ Le forze interne non influenzano il moto del CM.

Questo risultato è straordinario: il centro di massa di un sistema si muove come se tutta la massa fosse concentrata lì e tutte le forze esterne fossero applicate in quel punto. Le forze interne — urti tra le parti, esplosioni, tensioni, deformazioni — non cambiano nulla del moto del CM. Il motivo profondo è la terza legge di Newton: le forze interne si presentano sempre a coppie uguali e opposte, quindi si cancellano nella somma vettoriale. Soltanto le forze esterne “sopravvivono”.

Esempio — Due palle in caduta con urto

Due palle ($3\;\text{kg}$ e $9\;\text{kg}$) cadono da $100\;\text{m}$ di altezza con velocità orizzontali opposte. Durante la caduta collidono.

Il CM del sistema ha $\vec{a}_{\text{CM}} = (0,\; -9{,}81)$, perché solo il peso è forza esterna. La collisione è una forza interna: il CM continua imperturbato il suo moto parabolico, come se le due palle non si fossero mai toccate. Si può calcolare dove atterra il CM con le sole equazioni della cinematica 2D, ignorando completamente l’urto.

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The centre of mass is not just a convenient midpoint: it obeys a surprisingly simple law of motion, Newton’s second law for the CM.

Law — Second law for the centre of mass

$\ev{\sum \vec{F}_{\text{esterne}} = M_{\text{tot}}\,\vec{a}_{\text{CM}}}$ Internal forces do not affect the motion of the CM.

This result is remarkable: the centre of mass of a system moves as if the whole mass were concentrated there and all external forces were applied at that point. Internal forces — collisions between parts, explosions, tensions, deformations — change nothing about the CM’s motion. The deep reason is Newton’s third law: internal forces always come in equal and opposite pairs, so they cancel in the vector sum. Only external forces “survive”.

Example — Two balls falling and colliding

Two balls ($3\;\text{kg}$ and $9\;\text{kg}$) fall from a height of $100\;\text{m}$ with opposite horizontal velocities. During the fall they collide.

The system’s CM has $\vec{a}_{\text{CM}} = (0,\; -9{,}81)$, because only weight is an external force. The collision is an internal force: the CM continues its parabolic motion undisturbed, as if the two balls had never touched. Where the CM lands can be found using nothing but the 2D kinematics equations, completely ignoring the collision.

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Come si calcola il centro di massa di un oggetto con un buco? Il trucco è elegante: si usa il metodo dell’anti-materia, trattando il buco come un oggetto di massa negativa.

L’idea è che un oggetto bucato equivale all’oggetto pieno più un “tappo di anti-materia” che riempie esattamente il buco con massa negativa. Sommando i due, la materia del tappo cancella la materia reale nella zona del buco, e resta l’oggetto forato. Poiché il CM è lineare nelle masse, si può applicare la formula usuale mettendo un contributo con segno meno.

Principio — Metodo dell'anti-materia

Oggetto con buco = oggetto intero ($+m_1$, in $\vec{s}_1$) $+$ buco ($-m_2$, in $\vec{s}_2$): $\ev{\vec{s}_\text{CM} = \frac{m_1\,\vec{s}_1 - m_2\,\vec{s}_2}{m_1 - m_2}}$

Il denominatore è $m_1 - m_2$, cioè la massa effettiva che resta dopo aver tolto il buco. Il numeratore sottrae il contributo della zona mancante. Il risultato: il CM si sposta dalla parte opposta al buco, perché è come se togliessimo massa da un lato.

Metodo dell’anti-materia: il disco con buco = disco intero $+$ buco di massa negativa. Il CM si sposta dalla parte opposta al buco.

Gli esercizi svolti Cerchio con buco e Disco con foro tangente applicano il metodo a casi concreti.

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How do you find the centre of mass of an object with a hole in it? The trick is elegant: use the anti-matter method, treating the hole as an object of negative mass.

The idea is that an object with a hole is equivalent to the full object plus a “plug of anti-matter” that exactly fills the hole with negative mass. Adding the two, the plug’s matter cancels the real matter in the hole’s region, and what remains is the pierced object. Since the CM is linear in the masses, you can apply the usual formula by putting in a contribution with a minus sign.

Principle — Anti-matter method

Object with a hole = whole object ($+m_1$, at $\vec{s}_1$) $+$ hole ($-m_2$, at $\vec{s}_2$): $\ev{\vec{s}_\text{CM} = \frac{m_1\,\vec{s}_1 - m_2\,\vec{s}_2}{m_1 - m_2}}$

The denominator is $m_1 - m_2$, i.e. the effective mass left once the hole is removed. The numerator subtracts the contribution of the missing region. The result: the CM shifts to the side opposite the hole, because it is as if mass had been removed from one side.

Anti-matter method: the disc with a hole = whole disc $+$ hole of negative mass. The CM shifts to the side opposite the hole.

The worked exercises Circle with a hole and Disc with a tangent hole apply the method to concrete cases.

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C’è un risultato molto utile che lega il centro di massa all’energia potenziale gravitazionale: per calcolare l’$E_\text{pot,g}$ totale di un sistema — un oggetto esteso o un insieme di più corpi — basta usare l’altezza del centro di massa.

Principio — Energia potenziale e centro di massa

$\ev{E_{\text{pot,g}} = M_{\text{tot}}\,g\,h_{\text{CM}}}$

La dimostrazione è immediata: l’energia potenziale totale è $\sum_i m_i g h_i = g \sum_i m_i h_i$. Ma $\sum_i m_i h_i = M_\text{tot}\, h_\text{CM}$ per definizione stessa del centro di massa (è la sua altezza, moltiplicata per la massa totale). Quindi tutta l’informazione sulla distribuzione verticale delle masse si condensa in un solo numero, $h_\text{CM}$.

Questo semplifica enormemente i calcoli nei problemi con oggetti estesi o sistemi di più corpi: invece di sommare tanti $m_i g h_i$, si trova l’altezza del baricentro e si moltiplica per il peso totale. È particolarmente comodo quando un corpo cambia forma — una catena che scivola, una fune che si srotola — perché basta seguire come si abbassa il baricentro.

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There is a very useful result linking the centre of mass to gravitational potential energy: to compute the total $E_\text{pot,g}$ of a system — an extended object or a set of several bodies — you just need the height of the centre of mass.

Principle — Potential energy and centre of mass

$\ev{E_{\text{pot,g}} = M_{\text{tot}}\,g\,h_{\text{CM}}}$

The proof is immediate: the total potential energy is $\sum_i m_i g h_i = g \sum_i m_i h_i$. But $\sum_i m_i h_i = M_\text{tot}\, h_\text{CM}$ by the very definition of the centre of mass (it is its height, multiplied by the total mass). So all the information about the vertical distribution of the masses condenses into a single number, $h_\text{CM}$.

This enormously simplifies calculations in problems with extended objects or systems of several bodies: instead of summing many $m_i g h_i$ terms, you find the height of the centre of gravity and multiply by the total weight. It is particularly handy when a body changes shape — a chain sliding, a rope unrolling — because you only need to track how the centre of gravity drops.

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Il centro di massa di un bastone è nel punto giusto, a metà. Ma il centro di massa di un anello sta al centro dell’anello, cioè in un punto dove di materiale non ce n’è. È una constatazione che aiuta a capire cosa stiamo facendo quando introduciamo il centro di massa: non stiamo “localizzando il corpo”, stiamo costruendo un punto geometrico la cui traiettoria obbedisce alle stesse leggi che regolavano il moto di un punto materiale.

L’intero corpo esteso “diventa” matematicamente equivalente a una massa puntiforme: il centro di massa è il primo esempio di quella meravigliosa strategia della fisica che consiste nel ridurre un problema complicato a uno molto più semplice ma equivalente (Feynman 1963; Battimelli e Stilli 1999).

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The centre of mass of a rod is in the right place, halfway along it. But the centre of mass of a ring lies at the ring’s centre, that is, at a point where there is no material at all. This is an observation that helps us understand what we are doing when we introduce the centre of mass: we are not “locating the body”, we are constructing a geometric point whose trajectory obeys the same laws that governed the motion of a point particle.

The entire extended body “becomes” mathematically equivalent to a point mass: the centre of mass is the first example of that wonderful strategy in physics that consists of reducing a complicated problem to a much simpler but equivalent one (Feynman 1963; Battimelli and Stilli 1999).

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A prima vista sostituire un corpo esteso — una palla da rugby in volo, un saltatore in alto, una galassia — con un singolo punto matematico sembra una semplificazione brutale. La sorpresa è che, per quanto riguarda il moto del baricentro, questa semplificazione è esatta: vale rigorosamente $M\vec{a}_{\mathrm{CM}}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}$, indipendentemente da quel che fanno le forze interne, dalla deformazione, dalla rotazione propria, dalle vibrazioni dei vari pezzi. È un teorema, non un’approssimazione.

Il significato fisico è profondo: le forze interne, per il terzo principio, si presentano sempre a coppie uguali e opposte e quindi si cancellano nella somma vettoriale; soltanto le forze esterne contribuiscono al moto del baricentro. Questa “democrazia delle forze interne” è ciò che permette al ginnasta di girare in aria pur cadendo con il baricentro su una parabola perfetta, e ciò che ci consente di trattare il sistema solare come un pendolo gravitazionale collettivo intorno al suo centro di massa (che cade dentro il Sole, ma non esattamente nel centro del Sole).

A un livello più astratto, è la prima manifestazione di un principio che attraversa tutta la fisica: separare i gradi di libertà collettivi (il moto del baricentro, di solito facili) dai gradi di libertà interni (rotazioni, oscillazioni, deformazioni, spesso complicati). La stessa idea, applicata a un cristallo, darà le onde sonore (modi normali del reticolo) e i fononi della meccanica statistica. Applicata a una nuvola di galassie, separerà il moto di Hubble dal moto peculiare delle singole galassie. Imparare a riconoscere e isolare il moto del baricentro è quindi un esercizio mentale che ripaga ben oltre il singolo problema di urti o esplosioni.

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At first glance, replacing an extended body — a rugby ball in flight, a high jumper, a galaxy — with a single mathematical point seems a brutal simplification. The surprise is that, as far as the motion of the centre of gravity is concerned, this simplification is exact: $M\vec{a}_{\mathrm{CM}}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}$ holds rigorously, regardless of what the internal forces do, of deformation, of the body’s own rotation, of the vibrations of its various parts. It is a theorem, not an approximation.

The physical meaning is profound: internal forces, by the third law, always occur in equal and opposite pairs and therefore cancel in the vector sum; only external forces contribute to the motion of the centre of gravity. This “democracy of internal forces” is what allows a gymnast to twist in mid-air while still falling with their centre of gravity on a perfect parabola, and what allows us to treat the solar system as a collective gravitational pendulum around its centre of mass (which falls inside the Sun, but not exactly at the Sun’s centre).

At a more abstract level, this is the first manifestation of a principle that runs throughout the whole of physics: separating the collective degrees of freedom (the motion of the centre of gravity, usually easy) from the internal degrees of freedom (rotations, oscillations, deformations, often complicated). The same idea, applied to a crystal, will give sound waves (normal modes of the lattice) and the phonons of statistical mechanics. Applied to a cloud of galaxies, it will separate the Hubble flow from the peculiar motion of individual galaxies. Learning to recognise and isolate the motion of the centre of gravity is therefore a mental exercise that pays off well beyond the single problem of collisions or explosions.

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