Relatività ristretta

Nel 1905 un giovane impiegato dell’Ufficio Brevetti di Berna, Albert Einstein, parte da un solo postulato — le equazioni di Maxwell valgono in ogni sistema di riferimento inerziale — e ne deriva conseguenze sbalorditive: il tempo si dilata, le lunghezze si contraggono, la simultaneità è relativa, massa ed energia sono la stessa cosa. Questo capitolo costruisce la relatività ristretta per eventi e invarianti, dall’orologio a luce fino a $E=mc^2$, e si affaccia infine sulla relatività generale e sulla cosmologia.

Sezioni

• Luce e relatività galileiana
• I postulati di Einstein
• Dilatazione dei tempi
• Eventi e invariante spazio-temporale
• Unità naturali
• Relazioni tra eventi: tipo spazio, tempo, luce
• La simultaneità relativa
• Il tempo proprio è massimo
• Il paradosso dei gemelli
• Contrazione delle lunghezze
• La formula della simultaneità
• I paradossi del treno
• Le trasformazioni di Lorentz
• Effetto Doppler relativistico
• Composizione relativistica delle velocità
• Massa ed energia: E = mc²
• Introduzione alla relatività generale
• Astrofisica relativistica: Hubble e cosmologia

Riflessioni

• L’invarianza: il vero cuore della relatività
• Da Galileo a Einstein: una svolta concettuale

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In 1905 a young clerk at the Patent Office in Bern, Albert Einstein, started from a single postulate — Maxwell’s equations hold in every inertial reference frame — and derived astonishing consequences from it: time dilates, lengths contract, simultaneity is relative, mass and energy are the same thing. This chapter builds special relativity in terms of events and invariants, from the light clock all the way to $E=mc^2$, and finally opens onto general relativity and cosmology.

Sections

• Light and Galilean relativity
• Einstein’s postulates
• Time dilation
• Events and the spacetime invariant
• Natural units
• Relations between events: spacelike, timelike, lightlike
• The relativity of simultaneity
• Proper time is maximal
• The twin paradox
• Length contraction
• The simultaneity formula
• The train paradoxes
• The Lorentz transformations
• Relativistic Doppler effect
• Relativistic composition of velocities
• Mass and energy: E = mc²
• Introduction to general relativity
• Relativistic astrophysics: Hubble and cosmology

Reflections

• Invariance: the true heart of relativity
• From Galileo to Einstein: a conceptual turning point

Exercises

• All the chapter’s worked exercises

L’esperimento di Michelson-Morley aveva lasciato in piedi una sola via d’uscita, la più radicale: rinunciare alle trasformazioni di Galileo. Nel 1905 Einstein tagliò il nodo gordiano non con un’ipotesi ad hoc sull’etere, ma con due postulati semplici e generalissimi, elevando a principio proprio i due fatti che sembravano in contraddizione.

Principio — I postulati della relatività ristretta

1. Principio di relatività. Le leggi della fisica (incluse le equazioni di Maxwell) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
2. Costanza della velocità della luce. La velocità della luce nel vuoto, $c \approx 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$, è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dal moto della sorgente o dell’osservatore.

La mossa geniale sta nel prendere per buone entrambe le affermazioni contemporaneamente, invece di sacrificarne una. Il primo postulato salva l’universalità di Maxwell; il secondo prende sul serio la conseguenza che $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ sia una costante uguale per tutti. Il prezzo da pagare non è nelle leggi dell’elettromagnetismo, ma nella nostra idea di spazio e tempo.

Se accettiamo questi postulati, infatti, bisogna rinunciare a qualcosa di molto caro all’intuizione: l’assoluta simultaneità e l’assoluto intervallo di tempo tra due eventi. Due orologi identici, in moto relativo, non concordano più sul “quanto tempo” è passato. Come dimostreremo tra poco con l’orologio a luce, il tempo stesso diventa relativo.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Postulati di Einstein · Dilatazione dei tempi

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The Michelson-Morley experiment had left only one way out, the most radical: giving up the Galilean transformations. In 1905 Einstein cut the Gordian knot not with an ad hoc hypothesis about the ether, but with two simple, extremely general postulates, elevating to a principle precisely the two facts that seemed to be in contradiction.

Principle — The postulates of special relativity

1. Principle of relativity. The laws of physics (including Maxwell’s equations) are the same in all inertial reference frames.
2. Constancy of the speed of light. The speed of light in vacuum, $c \approx 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$, is the same in all inertial reference frames, regardless of the motion of the source or the observer.

The stroke of genius lies in taking both statements as true at the same time, instead of sacrificing one of them. The first postulate saves the universality of Maxwell’s equations; the second takes seriously the consequence that $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ is a constant, the same for everyone. The price to pay is not in the laws of electromagnetism, but in our idea of space and time.

If we accept these postulates, in fact, we must give up something very dear to intuition: absolute simultaneity and an absolute time interval between two events. Two identical clocks, in relative motion, no longer agree on “how much time” has passed. As we shall shortly show with the light clock, time itself becomes relative.

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In tutta la trattazione relativistica conviene usare un sistema di unità un po’ insolito ma estremamente comodo: lo spazio si misura in secondi-luce, il tempo in secondi. In queste unità la velocità della luce vale semplicemente

$\ev{c = 1\ \text{(adimensionale)}}$

e le formule relativistiche perdono un sacco di $c$ e $c^2$ che servivano solo per rimettere a posto le unità di misura. Non è un trucco: è la scelta di misurare le distanze con lo stesso “righello” con cui misuriamo i tempi, cioè con la luce.

Principio — Unità naturali della relatività

Definiamo:

• secondo-luce (sl) = distanza percorsa dalla luce in $1\,\text{s}$ $\approx 3{,}00\cdot 10^8\,\text{m}\approx 300\,000\,\text{km}$;
• minuto-luce (ml) $\approx 1{,}80\cdot 10^{10}\,\text{m}$;
• ora-luce (h-luce) $\approx 1{,}08\cdot 10^{12}\,\text{m}$;
• anno-luce (a.l.) $\approx 9{,}46\cdot 10^{15}\,\text{m}$.

Una velocità, in queste unità, è un numero puro (sl/s oppure a.l./anno) sempre compreso tra $0$ e $1$. La luce viaggia a $1$; nient’altro può.

Tip

In unità naturali, $v=0{,}5$ significa “metà della velocità della luce”. Una velocità $v=2$ è impossibile per principio: un oggetto materiale non può eccedere $c=1$.

Queste unità hanno un sapore cosmico: l’universo, su scala astronomica, è già misurato in modo naturale in tempi-luce. La Luna dista $\approx 1{,}3$ secondi-luce dalla Terra; il Sole, $\approx 8{,}3$ minuti-luce; Plutone, $\approx 5{,}5$ ore-luce; la stella più vicina, Proxima Centauri, $\approx 4{,}24$ anni-luce; il centro della nostra galassia, $\approx 26\,000$ anni-luce; la galassia di Andromeda, $\approx 2{,}5$ milioni di anni-luce. È come se l’universo ci suggerisse da solo: “smettete di convertire in chilometri, usate i tempi-luce”.

Perché proprio queste unità?

Misurare lo spazio in secondi-luce significa, in fondo, misurare le distanze usando la luce come righello. È quello che già si fa con il radar (distanze terrestri) e con i riflettori laser sulla Luna (programma Apollo). Il GPS opera nello stesso modo: il satellite trasmette il tempo a cui ha emesso il segnale, il ricevitore misura il ritardo, e dalla relazione $d = c\,\Delta t$ ricostruisce la distanza. Quindi, in pratica, già nella vita di tutti i giorni misuriamo lo spazio in tempi-luce; siamo noi a riconvertire artificialmente in metri perché il SI ce lo impone.

Ecco l’invariante e le formule principali nelle due forme, con e senza $c$:

Tip

In unità naturali $\beta\equiv v/c$. Quando vediamo scritto $v=0{,}9$ senza unità, va inteso come $v=0{,}9\,c$.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale Competenze: Analisi dimensionale Metodi: Unità naturali

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Throughout the relativistic treatment it is convenient to use a somewhat unusual but extremely handy system of units: space is measured in light-seconds, time in seconds. In these units the speed of light is simply

$\ev{c = 1\ \text{(dimensionless)}}$

and the relativistic formulas lose a great many $c$‘s and $c^2$‘s that were only needed to sort out the units of measurement. This is not a trick: it is the choice of measuring distances with the same “ruler” we use to measure time, namely light.

Principle — Natural units of relativity

We define:

• light-second (ls) = distance travelled by light in $1\,\text{s}$ $\approx 3{.}00\cdot 10^8\,\text{m}\approx 300\,000\,\text{km}$;
• light-minute (lm) $\approx 1{.}80\cdot 10^{10}\,\text{m}$;
• light-hour (lh) $\approx 1{.}08\cdot 10^{12}\,\text{m}$;
• light-year (ly) $\approx 9{.}46\cdot 10^{15}\,\text{m}$.

A velocity, in these units, is a pure number (ls/s or ly/year) always between $0$ and $1$. Light travels at $1$; nothing else can.

Tip

In natural units, $v=0{.}5$ means “half the speed of light”. A velocity $v=2$ is impossible in principle: a material object cannot exceed $c=1$.

These units have a distinctly cosmic flavour: the universe, on an astronomical scale, is already naturally measured in light-times. The Moon is $\approx 1{.}3$ light-seconds from Earth; the Sun, $\approx 8{.}3$ light-minutes; Pluto, $\approx 5{.}5$ light-hours; the nearest star, Proxima Centauri, $\approx 4{.}24$ light-years; the centre of our galaxy, $\approx 26\,000$ light-years; the Andromeda galaxy, $\approx 2{.}5$ million light-years. It is as if the universe itself were suggesting: “stop converting to kilometres, use light-times”.

Why these particular units?

Measuring space in light-seconds means, at bottom, measuring distances using light as a ruler. This is already done with radar (terrestrial distances) and with laser reflectors on the Moon (Apollo programme). GPS works the same way: the satellite transmits the time at which it sent the signal, the receiver measures the delay, and from the relation $d = c\,\Delta t$ reconstructs the distance. So, in practice, in everyday life we already measure space in light-times; it is we who artificially convert back into metres because SI requires it.

Here are the invariant and the main formulas in both forms, with and without $c$:

Tip

In natural units $\beta\equiv v/c$. When we see $v=0{.}9$ written without units, it should be read as $v=0{.}9\,c$.

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Topics: Special relativity Concepts: Space-time invariant Skills: Dimensional analysis Methods: Natural units

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Uno dei risultati più contrari all’intuizione della relatività ristretta è che il “nello stesso istante” non è una nozione assoluta. Due eventi che per un osservatore avvengono simultaneamente, per un altro in moto rispetto al primo possono accadere in tempi diversi — e persino in ordine invertito.

Principio — La relatività della simultaneità

Due eventi che avvengono nello stesso istante in un sistema di riferimento non sono in generale simultanei in un altro SR. L’ordine temporale tra due eventi spazialmente separati dipende dal sistema di riferimento, a meno che i due eventi possano essere collegati da un segnale luminoso o più lento (intervallo di tipo tempo).

Un modo efficace di sentirne la forza è il “duello western relativistico”: nel deserto il Brutto (a sinistra) e il Cattivo (a destra) sparano al Buono, che sta nel mezzo. Per lo spettatore a terra i due colpi partono nello stesso istante. I due spari sono separati spazialmente ma simultanei per lo spettatore, quindi $\Delta t=0$ e $\Delta s\neq 0$: il loro intervallo è tipo spazio. Ne segue che l’ordine dei due spari non è assoluto. Un avvoltoio che sorvola la scena in moto (per esempio verso sinistra a $0{,}8\,c$) attribuirà ai due eventi tempi diversi: nel suo SR uno dei due pistoleri spara prima dell’altro. La conclusione si ricava senza calcoli, appoggiandosi solo alla natura tipo spazio dell’intervallo e alla relatività della simultaneità.

Che questo non generi paradossi causali è garantito dalla struttura del cono di luce. L’ambiguità dell’ordine riguarda soltanto le coppie tipo spazio, che per definizione non possono scambiarsi alcun segnale fisico: che il Brutto spari “prima” o “dopo” il Cattivo è irrilevante, perché nessuno dei due spari può influenzare l’altro. Al contrario, un intervallo tipo tempo preserva l’ordine causale: se $E_1$ può essere causa di $E_2$, lo è in tutti i SR, e nessun osservatore vedrà mai l’effetto precedere la causa. La relatività della simultaneità piega il “prima” e il “dopo” esattamente dove è innocuo farlo, e li lascia rigidi dove ne va della causalità.

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Esercizi collegati: Tipo spazio o tipo tempo · Duello western relativistico · Niente segnali più veloci della luce

One of the most counter-intuitive results of special relativity is that “at the same instant” is not an absolute notion. Two events that occur simultaneously for one observer may occur at different times — and even in reversed order — for another observer moving relative to the first.

Principle — The relativity of simultaneity

Two events that occur at the same instant in one reference frame are not in general simultaneous in another frame. The temporal order between two spatially separated events depends on the reference frame, unless the two events can be connected by a light signal or a slower one (time-type interval).

An effective way to feel its force is the “relativistic western duel”: in the desert the Ugly (on the left) and the Bad (on the right) shoot at the Good, who stands in the middle. For the spectator on the ground the two shots leave at the same instant. The two shots are spatially separated but simultaneous for the spectator, so $\Delta t=0$ and $\Delta s\neq 0$: their interval is space-type. It follows that the order of the two shots is not absolute. A vulture flying over the scene in motion (say, leftward at $0.8\,c$) will attribute different times to the two events: in its frame one of the two gunmen fires before the other. The conclusion is drawn without any calculation, relying only on the space-type nature of the interval and on the relativity of simultaneity.

That this generates no causal paradoxes is guaranteed by the structure of the light cone. The ambiguity of order concerns only space-type pairs, which by definition cannot exchange any physical signal: whether the Ugly fires “before” or “after” the Bad is irrelevant, because neither shot can influence the other. By contrast, a time-type interval preserves causal order: if $E_1$ can be the cause of $E_2$, it is so in every frame, and no observer will ever see the effect precede the cause. The relativity of simultaneity bends “before” and “after” exactly where it is harmless to do so, and leaves them rigid wherever causality is at stake.

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Topics: Special relativity Concepts: Relativity of simultaneity · Spacetime invariant Skills: Changing reference frame Methods: Minkowski diagram

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Il paradosso dei gemelli è forse l’esempio più celebre — e più discusso — della relatività ristretta. Caterina parte dalla Terra a $t=0$ e viaggia verso Alfa Centauri, distante $L=4$ anni-luce, a velocità $v=0{,}9\,c$; arrivata, inverte la rotta e torna alla stessa velocità. Suo fratello gemello Simone la aspetta a casa, fermo sulla Terra. Quando Caterina torna, quanti anni sono passati per lei, e quanti per lui?

Il viaggio di Caterina: andata verso Alfa Centauri e ritorno, mentre Simone resta fermo sulla Terra.

Un percorso concettuale al risultato

Lavoriamo in unità dove $c=1$ a.l./anno. Per Simone, che resta nel sistema di riferimento della Terra, Caterina viaggia di moto uniforme: l’andata dura $L/v = 4/0{,}9 \approx 4{,}44$ anni, e altrettanto il ritorno, per un totale di circa $8{,}9$ anni. Per Caterina, invece, ciò che conta è il tempo proprio lungo la sua linea di mondo, che si ricava dall’invariante applicato al tratto di andata:

$(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2 = 4{,}44^2 - 4^2 \approx 3{,}7,$

da cui $\Delta\tau_\text{andata} \approx 1{,}9$ anni; per simmetria il ritorno dura lo stesso, e il totale per Caterina è di circa $3{,}9$ anni. Il calcolo numerico completo è svolto in un esercizio dedicato; qui basta il risultato: al ritorno Caterina è invecchiata di circa $3{,}9$ anni, Simone di circa $8{,}9$. La differenza è di circa 5 anni. Se all’inizio erano gemelli identici, al ritorno Caterina è più giovane — e non si tratta di un’illusione ottica: è davvero vissuta meno tempo.

Perché non è davvero un paradosso

Perché non è un "paradosso"

A prima vista sembra contraddittorio: non potrebbe Caterina sostenere, con pari diritto, che è Simone a essersi mosso rispetto a lei, e quindi che dovrebbe essere lui il più giovane? La risposta è no, e il motivo è che i loro ruoli non sono simmetrici. Caterina è quella che ha cambiato sistema di riferimento a metà viaggio, invertendo la rotta: ha sperimentato un’accelerazione. Simone è invece sempre rimasto in un unico sistema inerziale. L’invariante $(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2$ va applicato separatamente ai due tratti, andata e ritorno, e la somma dei due tempi propri di Caterina risulta inferiore al tempo totale di Simone. È l’asimmetria — solo Caterina cambia SR — a rompere il presunto paradosso.

La spiegazione è un caso particolare della massimizzazione del tempo proprio: la linea di mondo di Simone è “diritta” (un solo SR), quella di Caterina è “spezzata” (due tratti). Da qui la regola d’oro: tra due eventi connessi da un moto, il tempo proprio è massimo per una traiettoria rettilinea uniforme e decresce se il viaggiatore cambia sistema di riferimento. In una frase: “invecchia di più chi resta fermo”.

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Esercizi collegati: Il signor Rossi va a teatro · Problema — Il sistema di riferimento del tempo minimo · La gara di conigli

The twin paradox is perhaps the most famous — and most discussed — example in special relativity. Catherine leaves Earth at $t=0$ and travels towards Alpha Centauri, at a distance $L=4$ light-years, at speed $v=0.9\,c$; on arrival, she reverses course and returns at the same speed. Her twin brother Simon waits for her at home, at rest on Earth. When Catherine returns, how many years have passed for her, and how many for him?

Catherine’s journey: outbound to Alpha Centauri and back, while Simon stays at rest on Earth.

A conceptual path to the result

We work in units where $c=1$ light-year/year. For Simon, who remains in Earth’s reference frame, Catherine travels with uniform motion: the outbound leg lasts $L/v = 4/0.9 \approx 4.44$ years, and the return the same, for a total of about $8.9$ years. For Catherine, instead, what matters is the proper time along her world line, which is obtained from the invariant applied to the outbound leg:

$(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2 = 4.44^2 - 4^2 \approx 3.7,$

giving $\Delta\tau_\text{outbound} \approx 1.9$ years; by symmetry the return takes the same, and the total for Catherine is about $3.9$ years. The full numerical calculation is carried out in a dedicated exercise; here the result alone suffices: on her return Catherine has aged by about $3.9$ years, Simon by about $8.9$. The difference is about 5 years. If they started out as identical twins, on her return Catherine is younger — and this is not an optical illusion: she has genuinely lived less time.

Why it is not really a paradox

Why it is not a "paradox"

At first sight it seems contradictory: couldn’t Catherine equally well claim that it is Simon who moved relative to her, and that therefore he should be the younger one? The answer is no, and the reason is that their roles are not symmetric. Catherine is the one who changed reference frame halfway through the journey, reversing course: she experienced an acceleration. Simon, instead, always remained in a single inertial frame. The invariant $(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2$ must be applied separately to the two legs, outbound and return, and the sum of Catherine’s two proper times turns out to be less than Simon’s total time. It is the asymmetry — only Catherine changes frame — that breaks the supposed paradox.

The explanation is a special case of the maximisation of proper time: Simon’s world line is “straight” (a single frame), Catherine’s is “broken” (two legs). Hence the golden rule: between two events connected by motion, proper time is maximal for a uniform straight-line trajectory and decreases if the traveller changes reference frame. In a phrase: “whoever stays put ages more”.

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Se i tempi si dilatano, le lunghezze si contraggono. È l’altra faccia della stessa medaglia: un oggetto in moto risulta più corto, misurato lungo la direzione del suo moto, di quanto lo sia nel sistema in cui è fermo. Ma di quanto, esattamente, e per chi?

Legge — Contrazione delle lunghezze

Se un oggetto (o un campo di gara) ha lunghezza a riposo $L_0$, cioè misurata nel SR in cui è fermo, allora nel SR in cui l’oggetto si muove a velocità $v$ la sua lunghezza misurata è $\ev{L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ La contrazione avviene solo lungo la direzione del moto, non perpendicolarmente ad essa.

Due punti vanno sottolineati. Primo: la lunghezza a riposo $L_0$ è la più grande possibile; qualunque osservatore che veda l’oggetto in moto lo misura più corto, di un fattore $1/\gamma < 1$. Secondo: solo le dimensioni parallele al moto si contraggono. Un metro che sfreccia in orizzontale appare accorciato in orizzontale ma della stessa altezza di sempre; una sfera in moto diventa uno “schiacciato” ellissoide, appiattito nella sola direzione della velocità.

Riprendiamo la gara dei conigli. Lo spettatore fermo dice che il campo è lungo $2000$ sl e che i conigli corrono dai suoi due estremi. Ma Matilda, nel suo sistema di riferimento, vede il campo più corto: è lei a stare ferma (rispetto a se stessa), mentre il traguardo le viene incontro. Con $v=0{,}8\,c$ si ha $\gamma = 1/\sqrt{1-0{,}64} \approx 1{,}67$, quindi per Matilda il campo è lungo

$L = \frac{2000}{1{,}67} \approx 1200\ \text{sl}.$

Il risultato è coerente con il tempo proprio: Matilda viaggia a $0{,}8\,c$ per $\Delta\tau_M = 1500$ s, percorrendo $0{,}8 \cdot 1500 = 1200$ sl — esattamente la lunghezza contratta del campo. Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze sono così due descrizioni dello stesso fenomeno, viste da osservatori diversi: ciò che per lo spettatore è “un campo lungo attraversato lentamente” per Matilda è “un campo corto attraversato in poco tempo proprio”.

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Esercizi collegati: Astronauta verso Proxima Centauri · Il muone dei raggi cosmici · Problema — Galleria a 0,8c

If time dilates, lengths contract. It is the other side of the same coin: an object in motion turns out to be shorter, measured along the direction of its motion, than it is in the frame where it is at rest. But by how much, exactly, and for whom?

Law — Length contraction

If an object (or a racetrack) has rest length $L_0$, i.e. measured in the frame where it is at rest, then in the frame in which the object moves at speed $v$ its measured length is $\ev{L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\,\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ The contraction occurs only along the direction of motion, not perpendicular to it.

Two points deserve emphasis. First: the rest length $L_0$ is the largest possible; any observer who sees the object in motion measures it as shorter, by a factor $1/\gamma < 1$. Second: only the dimensions parallel to the motion contract. A metre stick flying by horizontally appears shortened horizontally but keeps its usual height; a sphere in motion becomes a “squashed” ellipsoid, flattened only in the direction of the velocity.

Let us return to the rabbit race. The observer at rest says the track is $2000$ ls long and that the rabbits run from its two ends. But Matilda, in her own reference frame, sees the track as shorter: it is she who is at rest (with respect to herself), while the finish line comes towards her. With $v=0.8\,c$ we have $\gamma = 1/\sqrt{1-0.64} \approx 1.67$, so for Matilda the track is

$L = \frac{2000}{1.67} \approx 1200\ \text{ls}.$

The result is consistent with proper time: Matilda travels at $0.8\,c$ for $\Delta\tau_M = 1500$ s, covering $0.8 \cdot 1500 = 1200$ ls — exactly the contracted length of the track. Time dilation and length contraction are thus two descriptions of the same phenomenon, seen by different observers: what for the spectator is “a long track crossed slowly” is for Matilda “a short track crossed in little proper time”.

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Abbiamo già visto, nella storia del Buono, del Brutto e del Cattivo, che due eventi simultanei in un sistema di riferimento (SR) non lo sono più in un altro SR in moto relativo. Ora facciamo il passo quantitativo: ricaviamo la formula esatta per la differenza di tempi che quei due eventi mostrano nell’altro SR. È una delle tre formule fondamentali della relatività, insieme alla dilatazione dei tempi e alla contrazione delle lunghezze.

Disposizione. Consideriamo due eventi $E_1$ ed $E_2$ che in SRA avvengono simultaneamente e sono separati dal vettore $\vv{L}_{12(A)}$ (cioè $E_2$ è “avanti” rispetto a $E_1$ lungo la direzione del moto di SRB). Chiamiamo $\vv{v}$ la velocità di SRB rispetto a SRA e $\vv{\beta} = \vv{v}/c$. Ci chiediamo quanto vale $\Delta t_{12(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)}$ in SRB.

Derivazione con eventi e leggi del moto. Prendiamo come esempio concreto il duello western. Il Buono, nel mezzo, spara due raggi laser simultanei in SRA. L’evento $E_1$ è l’arrivo del primo raggio sul Cattivo (a sinistra, controcorrente rispetto al moto dell’avvoltoio); $E_2$ è l’arrivo del secondo raggio sul Brutto (a destra, nel verso del moto). In SRA, per simmetria, $E_1$ ed $E_2$ sono simultanei. In SRB, invece, vediamo Brutto e Cattivo come un’unica asta contratta di lunghezza $L_{(B)} = L_{(A)}\sqrt{1 - v^2/c^2}$: il Brutto viene incontro all’avvoltoio a velocità $v$ e il Cattivo se ne allontana alla stessa velocità.

Il Buono spara in SRB nell’evento $E_0$, posto per comodità a $t_{0(B)} = 0$ e $s_{0(B)} = 0$. Il raggio verso il Cattivo viaggia a velocità $-c$ (legge $s = -ct$) e deve raggiungere il Cattivo, che si muove nel verso positivo con legge $s = vt + L_{(B)}/2$; il raggio verso il Brutto viaggia a $+c$ (legge $s = ct$) e insegue il Brutto, con legge $s = vt - L_{(B)}/2$. Risolvendo i due sistemi lineari si trovano gli istanti d’arrivo:

$t_{1(B)} = \frac{L_{(B)}/2}{c-v}, \qquad t_{2(B)} = \frac{L_{(B)}/2}{c+v}$

La differenza è una sola espressione algebrica:

$\Delta t_{12(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)} = \frac{L_{(B)}}{2}\left(\frac{1}{c+v} - \frac{1}{c-v}\right) = -\frac{v\,L_{(B)}}{c^2 - v^2}$

Sostituendo $L_{(B)} = L_{(A)}\sqrt{1-v^2/c^2}$ e semplificando, tutto collassa in un risultato pulito:

$\ev{\Delta t_{12(B)} = -\,\beta\,\gamma\,\frac{L_{(A)}}{c}}$

Il segno meno è la parte più istruttiva: ricorda che in SRB l’evento “a valle” del moto (quello nel verso della velocità) accade per primo. La simultaneità non è assoluta, e chi si sposta vede accadere prima ciò che sta davanti a sé nella direzione del moto.

In forma vettoriale, valida per una separazione $\vv{L}_{12(A)}$ orientata comunque:

$\Delta t_{12(B)} = -\,\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\vv{L}_{12(A)}}{c}$

Solo la componente di $\vv{L}_{12(A)}$ lungo il moto conta: eventi separati trasversalmente al moto restano simultanei anche nell’altro SR.

Formula chiave

$\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\vv{L}_{12(A)}}{c}$ Vale per due eventi simultanei in SRA, con $\vv{L}_{12(A)}$ diretto da $E_1$ a $E_2$. L’evento a valle del moto accade per primo nell’altro SR.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

Esercizi collegati: Tipo spazio o tipo tempo · Problema — Galleria a 0,8c · Problema — Simultaneità (vero o falso)

We have already seen, in the story of the Good, the Ugly and the Bad, that two events simultaneous in one reference frame (SR) are no longer so in another SR in relative motion. Now let us take the quantitative step: we derive the exact formula for the time difference those two events show in the other frame. It is one of the three fundamental formulae of relativity, alongside time dilation and length contraction.

Setup. Consider two events $E_1$ and $E_2$ that in SRA occur simultaneously and are separated by the vector $\vv{L}_{12(A)}$ (i.e. $E_2$ is “ahead” of $E_1$ along the direction of SRB’s motion). Call $\vv{v}$ the velocity of SRB relative to SRA and $\vv{\beta} = \vv{v}/c$. We ask what $\Delta t_{12(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)}$ is in SRB.

Derivation via events and equations of motion. Let us take the western duel as a concrete example. The Good, in the middle, fires two simultaneous laser beams in SRA. Event $E_1$ is the arrival of the first beam at the Bad (on the left, against the direction of the vulture’s motion); $E_2$ is the arrival of the second beam at the Ugly (on the right, along the direction of motion). In SRA, by symmetry, $E_1$ and $E_2$ are simultaneous. In SRB, instead, we see the Ugly and the Bad as a single contracted rod of length $L_{(B)} = L_{(A)}\sqrt{1 - v^2/c^2}$: the Ugly moves towards the vulture at speed $v$ and the Bad moves away at the same speed.

The Good fires in SRB at event $E_0$, placed for convenience at $t_{0(B)} = 0$ and $s_{0(B)} = 0$. The beam towards the Bad travels at speed $-c$ (law $s = -ct$) and must reach the Bad, who moves in the positive direction with law $s = vt + L_{(B)}/2$; the beam towards the Ugly travels at $+c$ (law $s = ct$) and chases the Ugly, with law $s = vt - L_{(B)}/2$. Solving the two linear systems gives the arrival times:

$t_{1(B)} = \frac{L_{(B)}/2}{c-v}, \qquad t_{2(B)} = \frac{L_{(B)}/2}{c+v}$

The difference is a single algebraic expression:

$\Delta t_{12(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)} = \frac{L_{(B)}}{2}\left(\frac{1}{c+v} - \frac{1}{c-v}\right) = -\frac{v\,L_{(B)}}{c^2 - v^2}$

Substituting $L_{(B)} = L_{(A)}\sqrt{1-v^2/c^2}$ and simplifying, everything collapses into a clean result:

$\ev{\Delta t_{12(B)} = -\,\beta\,\gamma\,\frac{L_{(A)}}{c}}$

The minus sign is the most instructive part: it recalls that in SRB the event “downstream” of the motion (the one in the direction of the velocity) happens first. Simultaneity is not absolute, and whoever is moving sees what lies ahead of them, in the direction of motion, happen first.

In vector form, valid for a separation $\vv{L}_{12(A)}$ oriented in any way:

$\Delta t_{12(B)} = -\,\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\vv{L}_{12(A)}}{c}$

Only the component of $\vv{L}_{12(A)}$ along the motion matters: events separated transversally to the motion remain simultaneous even in the other frame.

Key formula

$\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\vv{L}_{12(A)}}{c}$ Holds for two events simultaneous in SRA, with $\vv{L}_{12(A)}$ directed from $E_1$ to $E_2$. The event downstream of the motion happens first in the other frame.

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Topics: Special relativity Concepts: Relativity of simultaneity Skills: Changing reference frame Methods: Minkowski diagram

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I tre ingredienti sviluppati finora — dilatazione dei tempi per eventi cospaziali, contrazione delle lunghezze per eventi simultanei, formula della relatività della simultaneità — bastano a ricavare le trasformazioni di Lorentz, cioè il modo compatto per riscrivere le coordinate di un qualsiasi evento passando da un SR all’altro. Sono il cuore matematico della relatività ristretta: una volta ottenute, ogni effetto cinematico ne discende come caso particolare.

Disposizione. Due eventi $E_1$ ed $E_2$ hanno in SRA coordinate $(t_{1(A)}, \vv{x}_{1(A)})$ e $(t_{2(A)}, \vv{x}_{2(A)})$. Vogliamo trovare $\Delta t_{21(B)}$ e $\Delta \vv{x}_{21(B)}$ in SRB, che si muove con velocità $\vv{v}$ rispetto a SRA. Per brevità poniamo $\Delta t = \Delta t_{21(A)}$ e $\Delta \vv{x} = \Delta \vv{x}_{21(A)}$.

Il trucco dell’evento ausiliario. Introduciamo un terzo evento $E_3$ costruito ad hoc, in modo che sia allo stesso tempo:

• cospaziale a $E_1$ in SRA: $\vv{x}_{3(A)} = \vv{x}_{1(A)}$;
• simultaneo a $E_2$ in SRA: $t_{3(A)} = t_{2(A)}$.

La scelta è furba perché su $E_3$ possiamo applicare separatamente la dilatazione dei tempi (accoppiandolo a $E_1$) e la relatività della simultaneità (accoppiandolo a $E_2$), due formule che già conosciamo.

Passo 1 (tempo di $E_3$ rispetto a $E_1$). $E_1$ ed $E_3$ sono cospaziali in SRA, quindi in SRB i loro tempi sono dilatati:

$t_{3(B)} - t_{1(B)} = \gamma\,(t_{3(A)} - t_{1(A)}) = \gamma\,\Delta t$

Passo 2 (tempo di $E_3$ rispetto a $E_2$). $E_3$ ed $E_2$ sono simultanei in SRA, con $\vv{L}_{32(A)} = \vv{x}_{3(A)} - \vv{x}_{2(A)} = -\Delta \vv{x}$. Per la relatività della simultaneità:

$t_{3(B)} - t_{2(B)} = -\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot(-\Delta\vv{x})}{c} = \gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\Delta\vv{x}}{c}$

Passo 3 (trasformazione del tempo). Sottraendo le due equazioni precedenti si elimina $t_{3(B)}$ e resta la trasformazione del tempo:

$\ev{\Delta t_{21(B)} = \gamma\left[\Delta t - \frac{\vv{v}\cdot\Delta\vv{x}}{c^2}\right]}$

Passo 4 (posizione di $E_3$ rispetto a $E_1$). In SRA $E_1$ ed $E_3$ sono nello stesso punto; in SRB, invece, nel frattempo è passato il tempo $\gamma\Delta t$ e SRA si è spostato di $-\vv{v}\,\gamma\Delta t$ rispetto a SRB. Quindi:

$\vv{x}_{3(B)} - \vv{x}_{1(B)} = -\vv{v}\,\gamma\,\Delta t$

Passo 5 (posizione di $E_3$ rispetto a $E_2$). $E_3$ ed $E_2$ sono simultanei in SRA, quindi la loro distanza in SRA è una lunghezza propria misurata in SRA; vista da SRB (dove i due eventi non sono simultanei) quella distanza appare dilatata del fattore $\gamma$ — è il contrario della contrazione delle lunghezze, perché qui è SRA a fare la misura:

$\vv{x}_{3(B)} - \vv{x}_{2(B)} = \gamma\,(\vv{x}_{3(A)} - \vv{x}_{2(A)}) = -\gamma\,\Delta\vv{x}$

Passo 6 (trasformazione della posizione). Sottraendo le equazioni dei passi 4 e 5 si elimina $\vv{x}_{3(B)}$ e resta la trasformazione della posizione:

$\ev{\Delta\vv{x}_{21(B)} = \gamma\left[\Delta\vv{x} - \vv{v}\,\Delta t\right]}$

Mettendo insieme i due risultati boxati otteniamo la legge di trasformazione completa, nel caso più comune di moto lungo un solo asse.

Trasformazioni di Lorentz (1D, lungo $x$)

Se SRB si muove con velocità $v$ lungo l’asse $x$ di SRA e le origini coincidono come evento di sincronizzazione, allora per ogni coppia di eventi: $\Delta t_{(B)} = \gamma\left(\Delta t_{(A)} - \frac{v\,\Delta x_{(A)}}{c^2}\right), \qquad \Delta x_{(B)} = \gamma\left(\Delta x_{(A)} - v\,\Delta t_{(A)}\right)$

La trasformazione inversa si ottiene con la regola più intuitiva della relatività: se SRB si muove a $+v$ rispetto a SRA, allora SRA si muove a $-v$ rispetto a SRB. Basta quindi scambiare i pedici $(A)\leftrightarrow(B)$ e sostituire $v \to -v$:

$\Delta t_{(A)} = \gamma\left(\Delta t_{(B)} + \frac{v\,\Delta x_{(B)}}{c^2}\right), \qquad \Delta x_{(A)} = \gamma\left(\Delta x_{(B)} + v\,\Delta t_{(B)}\right)$

La derivazione con l‘“evento ausiliario” è più lunga di altre, ma ha il pregio di usare solo strumenti già noti: dilatazione, contrazione e simultaneità relativa. Non abbiamo dovuto postulare nulla di nuovo.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Trasformazioni di Lorentz Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

Esercizi collegati: Galileo contro Einstein · Tipo spazio o tipo tempo · Problema — Galleria a 0,8c

The three ingredients developed so far — time dilation for cospatial events, length contraction for simultaneous events, the formula for the relativity of simultaneity — are enough to derive the Lorentz transformations, i.e. the compact way to rewrite the coordinates of any event when passing from one frame to another. They are the mathematical heart of special relativity: once obtained, every kinematic effect follows from them as a special case.

Setup. Two events $E_1$ and $E_2$ have coordinates $(t_{1(A)}, \vv{x}_{1(A)})$ and $(t_{2(A)}, \vv{x}_{2(A)})$ in SRA. We want to find $\Delta t_{21(B)}$ and $\Delta \vv{x}_{21(B)}$ in SRB, which moves with velocity $\vv{v}$ relative to SRA. For brevity we set $\Delta t = \Delta t_{21(A)}$ and $\Delta \vv{x} = \Delta \vv{x}_{21(A)}$.

The auxiliary-event trick. We introduce a third event $E_3$ constructed ad hoc, so that it is at the same time:

• cospatial with $E_1$ in SRA: $\vv{x}_{3(A)} = \vv{x}_{1(A)}$;
• simultaneous with $E_2$ in SRA: $t_{3(A)} = t_{2(A)}$.

The choice is clever because to $E_3$ we can apply separately time dilation (pairing it with $E_1$) and the relativity of simultaneity (pairing it with $E_2$), two formulae we already know.

Step 1 (time of $E_3$ relative to $E_1$). $E_1$ and $E_3$ are cospatial in SRA, so in SRB their times are dilated:

$t_{3(B)} - t_{1(B)} = \gamma\,(t_{3(A)} - t_{1(A)}) = \gamma\,\Delta t$

Step 2 (time of $E_3$ relative to $E_2$). $E_3$ and $E_2$ are simultaneous in SRA, with $\vv{L}_{32(A)} = \vv{x}_{3(A)} - \vv{x}_{2(A)} = -\Delta \vv{x}$. By the relativity of simultaneity:

$t_{3(B)} - t_{2(B)} = -\gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot(-\Delta\vv{x})}{c} = \gamma\,\frac{\vv{\beta}\cdot\Delta\vv{x}}{c}$

Step 3 (transformation of time). Subtracting the two previous equations eliminates $t_{3(B)}$ and leaves the transformation of time:

$\ev{\Delta t_{21(B)} = \gamma\left[\Delta t - \frac{\vv{v}\cdot\Delta\vv{x}}{c^2}\right]}$

Step 4 (position of $E_3$ relative to $E_1$). In SRA, $E_1$ and $E_3$ are at the same point; in SRB, however, in the meantime time $\gamma\Delta t$ has elapsed and SRA has shifted by $-\vv{v}\,\gamma\Delta t$ relative to SRB. Hence:

$\vv{x}_{3(B)} - \vv{x}_{1(B)} = -\vv{v}\,\gamma\,\Delta t$

Step 5 (position of $E_3$ relative to $E_2$). $E_3$ and $E_2$ are simultaneous in SRA, so their distance in SRA is a proper length measured in SRA; seen from SRB (where the two events are not simultaneous) that distance appears dilated by the factor $\gamma$ — the opposite of length contraction, because here it is SRA performing the measurement:

$\vv{x}_{3(B)} - \vv{x}_{2(B)} = \gamma\,(\vv{x}_{3(A)} - \vv{x}_{2(A)}) = -\gamma\,\Delta\vv{x}$

Step 6 (transformation of position). Subtracting the equations of steps 4 and 5 eliminates $\vv{x}_{3(B)}$ and leaves the transformation of position:

$\ev{\Delta\vv{x}_{21(B)} = \gamma\left[\Delta\vv{x} - \vv{v}\,\Delta t\right]}$

Putting the two boxed results together we obtain the full transformation law, in the most common case of motion along a single axis.

Lorentz transformations (1D, along $x$)

If SRB moves with velocity $v$ along the $x$ axis of SRA and the origins coincide as the synchronisation event, then for every pair of events: $\Delta t_{(B)} = \gamma\left(\Delta t_{(A)} - \frac{v\,\Delta x_{(A)}}{c^2}\right), \qquad \Delta x_{(B)} = \gamma\left(\Delta x_{(A)} - v\,\Delta t_{(A)}\right)$

The inverse transformation is obtained with the more intuitive rule of relativity: if SRB moves at $+v$ relative to SRA, then SRA moves at $-v$ relative to SRB. It suffices to swap the subscripts $(A)\leftrightarrow(B)$ and substitute $v \to -v$:

$\Delta t_{(A)} = \gamma\left(\Delta t_{(B)} + \frac{v\,\Delta x_{(B)}}{c^2}\right), \qquad \Delta x_{(A)} = \gamma\left(\Delta x_{(B)} + v\,\Delta t_{(B)}\right)$

The derivation with the “auxiliary event” is longer than others, but has the merit of using only already-known tools: dilation, contraction and relative simultaneity. We did not have to postulate anything new.

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Topics: Special relativity Concepts: Lorentz transformations Skills: Changing reference frame Methods: Minkowski diagram

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Se una sorgente e un ricevitore si muovono l’uno rispetto all’altro, la frequenza della luce ricevuta cambia, esattamente come il fischio di un treno in avvicinamento suona più acuto di quando si allontana. In relatività ristretta la formula si ricava ragionando per eventi, usando soltanto la costanza di $c$ e la dilatazione dei tempi.

Disposizione. Uno scienziato fermo in SRA manda due brevi lampi di luce verso un oggetto solidale a SRB, che si muove a velocità $v$ rispetto a SRA (positiva se si allontana). Definiamo quattro eventi:

• $E_1$: partenza del primo lampo dallo scienziato;
• $E_2$: partenza del secondo lampo;
• $E_3$: il primo lampo raggiunge l’oggetto;
• $E_4$: il secondo lampo raggiunge l’oggetto.

Prendiamo $E_1$ come evento di sincronizzazione fra SRA ed SRB: $t_{1(A)} = t_{1(B)} = 0$ e $x_{1(A)} = x_{1(B)} = 0$. Lo scienziato emette i lampi con intervallo $\Delta t_{(A)} = t_{2(A)} - t_{1(A)}$, misurato sul suo orologio.

Passo 1: dilatazione fra eventi cospaziali. $E_1$ ed $E_2$ avvengono entrambi nel punto in cui sta lo scienziato: sono cospaziali in SRA. Quindi in SRB l’intervallo è dilatato:

$\Delta t_{(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)} = \gamma\,\Delta t_{(A)}$

Passo 2: leggi del moto in SRB. In SRB l’oggetto sta fermo nell’origine, mentre lo scienziato arretra a velocità $-v$. Il primo lampo parte da $x = 0$ all’istante $t = 0$ e va a velocità $+c$: legge $x = ct$. Il secondo lampo parte da $x_0 = -v\,\Delta t_{(B)}$ (lo scienziato si è spostato nel frattempo) all’istante $t_0 = \Delta t_{(B)}$, sempre a $+c$: legge $x = -v\,\Delta t_{(B)} + c\,(t - \Delta t_{(B)})$. Imponendo $x = 0$ (l’oggetto sta nell’origine di SRB) si ricavano $t_{3(B)} = 0$ e:

$t_{4(B)} = \Delta t_{(B)}\,(1 + v/c)$

Passo 3: l’intervallo di ricezione in SRB. La differenza $\Delta t'_{(B)} = t_{4(B)} - t_{3(B)}$ è, usando l’identità $\gamma(1+v/c) = \sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}$:

$\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(B)}\,(1 + v/c) = \gamma\,(1 + v/c)\,\Delta t_{(A)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}$

Doppler relativistico

Se la sorgente invia segnali con intervallo proprio $\Delta t_{(A)}$ verso un oggetto che si muove con velocità $v$ (positiva se si allontana), l’oggetto li riceve con intervallo proprio $\ev{\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(A)}\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}}$ e, per le frequenze $f = 1/\Delta t$, $\ev{f' = f\,\sqrt{\frac{1 - v/c}{1 + v/c}}}$ Con $v > 0$ (allontanamento) si ha $f' < f$: redshift. Con $v < 0$ (avvicinamento) si ha blueshift.

Perché radici quadrate?

Nell’effetto Doppler classico (per il suono) un’unica riflessione del segnale darebbe il fattore $(1+v/c)/(1-v/c)$, senza radice. L’effetto relativistico “aggiunge” la dilatazione dei tempi fra eventi cospaziali di SRA e SRB: il fattore complessivo diventa $\gamma(1+v/c) = \sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}$. Le radici sono il marchio di fabbrica della relatività: compaiono ogni volta che si “trascina” un intervallo temporale da un SR all’altro attraverso la formula di dilatazione.

Redshift cosmologico

Il Doppler relativistico ha una spettacolare applicazione in astrofisica: le galassie lontane emettono luce che ci arriva con un redshift (spostamento verso il rosso) tanto maggiore quanto più sono distanti. È la prova che l’universo è in espansione. Una galassia con redshift $z=1$ ha $f' = f/2$, il che implica una velocità di allontanamento $v \approx 0{,}6\,c$. Osservando redshift sempre più grandi, gli astronomi riescono a spiare l’universo com’era miliardi di anni fa.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Effetto Doppler Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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If a source and a receiver move relative to each other, the frequency of the light received changes, exactly as the whistle of an approaching train sounds higher-pitched than when it recedes. In special relativity the formula is derived by reasoning event by event, using only the constancy of $c$ and time dilation.

Setup. A scientist at rest in SRA sends two brief flashes of light towards an object at rest in SRB, which moves at speed $v$ relative to SRA (positive if receding). We define four events:

• $E_1$: departure of the first flash from the scientist;
• $E_2$: departure of the second flash;
• $E_3$: the first flash reaches the object;
• $E_4$: the second flash reaches the object.

We take $E_1$ as the synchronisation event between SRA and SRB: $t_{1(A)} = t_{1(B)} = 0$ and $x_{1(A)} = x_{1(B)} = 0$. The scientist emits the flashes with interval $\Delta t_{(A)} = t_{2(A)} - t_{1(A)}$, measured on their own clock.

Step 1: dilation between cospatial events. $E_1$ and $E_2$ both occur at the point where the scientist stands: they are cospatial in SRA. So in SRB the interval is dilated:

$\Delta t_{(B)} = t_{2(B)} - t_{1(B)} = \gamma\,\Delta t_{(A)}$

Step 2: equations of motion in SRB. In SRB the object is at rest at the origin, while the scientist recedes at speed $-v$. The first flash leaves $x = 0$ at instant $t = 0$ and travels at speed $+c$: law $x = ct$. The second flash leaves $x_0 = -v\,\Delta t_{(B)}$ (the scientist has moved in the meantime) at instant $t_0 = \Delta t_{(B)}$, again at $+c$: law $x = -v\,\Delta t_{(B)} + c\,(t - \Delta t_{(B)})$. Imposing $x = 0$ (the object is at the origin of SRB) gives $t_{3(B)} = 0$ and:

$t_{4(B)} = \Delta t_{(B)}\,(1 + v/c)$

Step 3: the reception interval in SRB. The difference $\Delta t'_{(B)} = t_{4(B)} - t_{3(B)}$ is, using the identity $\gamma(1+v/c) = \sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}$:

$\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(B)}\,(1 + v/c) = \gamma\,(1 + v/c)\,\Delta t_{(A)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}$

Relativistic Doppler effect

If the source sends signals with proper interval $\Delta t_{(A)}$ towards an object moving at speed $v$ (positive if receding), the object receives them with proper interval $\ev{\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(A)}\sqrt{\frac{1 + v/c}{1 - v/c}}}$ and, for frequencies $f = 1/\Delta t$, $\ev{f' = f\,\sqrt{\frac{1 - v/c}{1 + v/c}}}$ With $v > 0$ (receding) we have $f' < f$: redshift. With $v < 0$ (approaching) we have blueshift.

Why square roots?

In the classical Doppler effect (for sound) a single reflection of the signal would give the factor $(1+v/c)/(1-v/c)$, without a square root. The relativistic effect “adds” the time dilation between cospatial events of SRA and SRB: the overall factor becomes $\gamma(1+v/c) = \sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}$. Square roots are relativity’s trademark: they appear every time a time interval is “dragged” from one frame to another through the dilation formula.

Cosmological redshift

The relativistic Doppler effect has a spectacular application in astrophysics: distant galaxies emit light that reaches us with a redshift (shift towards red) that is greater the farther away they are. It is the proof that the universe is expanding. A galaxy with redshift $z=1$ has $f' = f/2$, which implies a recession speed $v \approx 0.6\,c$. By observing ever larger redshifts, astronomers manage to peer at the universe as it was billions of years ago.

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Topics: Special relativity Concepts: Doppler effect Skills: Changing reference frame Methods: Minkowski diagram

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La teoria della relatività ristretta è spesso dipinta come “la teoria che ci dice che tutto è relativo”. È esattamente il contrario. La relatività ci dice quali cose non sono relative: la velocità della luce, l’intervallo di Minkowski $(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - \left(\frac{\Delta s}{c}\right)^2,$ la massa a riposo di una particella. Sono i nuovi invarianti, che prendono il posto dello spazio e del tempo newtoniani, un tempo ritenuti assoluti e ora scoperti dipendenti dall’osservatore.

Einstein non ha “relativizzato tutto”: ha scambiato un insieme di invarianti per un altro, più sottile e più profondo. È un rovesciamento di prospettiva che vale la pena tenere a mente. Ciò che la fisica prerelativistica dava per assoluto — la durata di un intervallo di tempo, la lunghezza di un regolo, la simultaneità di due eventi — diventa relativo al sistema di riferimento; ma al loro posto emergono nuove grandezze, uguali per tutti gli osservatori.

Dietro ogni teoria fisica matura c’è, in fondo, una ricerca di invarianti: sono essi a costituire lo scheletro oggettivo del mondo, ciò che resta quando ci si sposta da un punto di vista a un altro (Einstein e Infeld 1938; Rovelli 2014). Cercare le invarianze di una teoria significa cercare ciò che, in mezzo a tutto il cambiamento apparente, non cambia: e questo — non l’idea che “tutto sia relativo” — è il vero cuore della relatività. Si veda anche Riferimenti bibliografici.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale

Esercizi collegati: Tipo spazio o tipo tempo · Problema — Particella o fotone · Il signor Rossi va a teatro

Special relativity is often portrayed as “the theory that tells us everything is relative”. It is exactly the opposite. Relativity tells us which things are not relative: the speed of light, the Minkowski interval $(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - \left(\frac{\Delta s}{c}\right)^2,$ a particle’s rest mass. These are the new invariants, taking the place of Newtonian space and time, once held absolute and now found to be observer-dependent.

Einstein did not “relativise everything”: he traded one set of invariants for another, subtler and deeper one. It is a reversal of perspective worth keeping in mind. What pre-relativistic physics took as absolute — the duration of a time interval, the length of a ruler, the simultaneity of two events — becomes relative to the reference frame; but in their place new quantities emerge, the same for every observer.

Behind every mature physical theory lies, ultimately, a search for invariants: they form the objective skeleton of the world, what remains when we shift from one point of view to another (Einstein and Infeld 1938; Rovelli 2014). Seeking a theory’s invariances means seeking what, amid all the apparent change, does not change: and this — not the idea that “everything is relative” — is the true heart of relativity. See also Riferimenti bibliografici.

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Topics: Relatività ristretta Concepts: Invariante spazio-temporale

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Galileo, descrivendo nel 1632 il suo celebre “vascello” nel Dialogo sopra i due massimi sistemi, aveva già messo in chiaro il principio fondamentale: rinchiusi in una nave che procede a velocità costante, nessun esperimento meccanico ci permette di stabilire se la nave si muove o se è ferma rispetto al porto. Le farfalle volano, le gocce cadono, i pesci nuotano allo stesso modo, che la nave sia in moto uniforme oppure ormeggiata. Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro.

Per quasi tre secoli questa restrizione — “nessun esperimento meccanico” — fu accettata senza obiezioni. In fondo la luce e l’elettromagnetismo sembravano fenomeni di tutt’altra natura, da analizzare separatamente, e nulla vietava che potessero rivelare il moto assoluto rispetto a un ipotetico etere.

Einstein, nel 1905, fece un passo apparentemente piccolo ma logicamente esplosivo: sostituì “meccanico” con nessun esperimento. Dunque anche le leggi dell’elettromagnetismo, e quindi la velocità della luce, devono essere uguali in tutti i sistemi inerziali. Da questa singola estensione di una parola discende tutto: la dilatazione dei tempi, la contrazione delle lunghezze, l’equivalenza massa-energia.

La storia della fisica è piena di episodi simili: una piccola modifica di un’assunzione che pareva puramente tecnica si rivela una rivoluzione concettuale. Fare lezione di relatività, in fondo, è in larga parte far vedere agli studenti che il vero passaggio ardito di Einstein non sta nei calcoli, ma nella scelta di quella parola in più (Einstein e Infeld 1938; Rovelli 2014; Battimelli e Stilli 1999). Si veda anche Riferimenti bibliografici.

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Argomenti: Relatività ristretta

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Galileo, describing in 1632 his famous “ship” in the Dialogue Concerning the Two Chief World Systems, had already made the fundamental principle clear: shut inside a ship moving at constant velocity, no mechanical experiment can tell us whether the ship is moving or standing still relative to the harbour. Butterflies fly, drops fall, fish swim the same way, whether the ship is in uniform motion or moored. The laws of mechanics are the same in every system moving in uniform rectilinear motion relative to another.

For nearly three centuries this restriction — “no mechanical experiment” — was accepted without objection. After all, light and electromagnetism seemed to be phenomena of an entirely different nature, to be analysed separately, and nothing ruled out that they might reveal absolute motion relative to a hypothetical ether.

In 1905, Einstein took an apparently small but logically explosive step: he replaced “mechanical” with no experiment. So the laws of electromagnetism too, and hence the speed of light, must be the same in every inertial frame. From this single extension of a word follows everything: time dilation, length contraction, mass–energy equivalence.

The history of physics is full of similar episodes: a small change to an assumption that seemed purely technical turns out to be a conceptual revolution. Teaching relativity, in the end, largely means showing students that Einstein’s truly daring move lies not in the calculations, but in the choice of that one extra word (Einstein and Infeld 1938; Rovelli 2014; Battimelli and Stilli 1999). See also Riferimenti bibliografici.

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Topics: Relatività ristretta

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