Energia e lavoro

La seconda legge di Newton è potente ma non sempre pratica. Quando interessa quanto veloce si muoverà un corpo dopo un certo tratto, senza il dettaglio istante per istante, l’approccio energetico è più efficiente. Questo capitolo introduce l’energia, il lavoro come trasferimento di energia, il diagramma a bolle, la tabella energetica e il principio di conservazione che governa ogni trasformazione.

Sezioni

• Che cos’è l’energia?
• Lavoro di una forza
• I diagrammi di scambio energetico
• Regole di collegamento delle bolle
• Attrito ed energia termica
• Il giro della morte: approccio energetico
• Equilibrio termico
• Energia potenziale, equilibrio e punti di inversione
• Problemi a più stati

Riflessioni

• L’energia come contabile silenzioso
• L’energia: una valuta che si conserva

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Newton’s second law is powerful but not always practical. When what matters is how fast a body will be moving after a certain stretch, without the instant-by-instant detail, the energy approach is more efficient. This chapter introduces energy, work as a transfer of energy, the bubble diagram, the energy table, and the conservation principle that governs every transformation.

Sections

• What is energy?
• Work done by a force
• Energy exchange diagrams
• Rules for connecting the bubbles
• Friction and thermal energy
• The loop-the-loop: an energy approach
• Thermal equilibrium
• Potential energy, equilibrium and turning points
• Multi-state problems

Reflections

• Energy as a silent accountant
• Energy: a currency that is conserved

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Il giro della morte, quel loop verticale in cui un corpo percorre un anello completo restando aderente alla pista, unisce due idee che a prima vista sembrano scollegate: la condizione dinamica alla sommità del loop e la conservazione dell’energia lungo tutto il percorso. Analizzarlo con il metodo energetico rende trasparente il legame tra le due.

Il punto di partenza è una condizione locale, valida solo nel punto più alto dell’anello. Perché il corpo mantenga il contatto con la pista alla sommità del loop, la sua velocità non può scendere sotto un valore minimo: al vertice deve essere almeno $v_{\min} = \sqrt{gr}$, dove $r$ è il raggio del loop. Al di sotto di questa velocità la gravità non è più interamente “consumata” per curvare la traiettoria e il corpo si stacca, cadendo verso l’interno. Questa è la richiesta imposta dal moto circolare al vertice, indipendente da come il corpo ci sia arrivato.

La domanda naturale è allora: da quale altezza deve partire il corpo per raggiungere quella velocità in cima? Qui entra in gioco la conservazione dell’energia, che fa da ponte tra la partenza e la sommità. Trattando il moto come una catena di stati, confrontiamo lo Stato A (partenza da fermo, a un’altezza $h$, con energia tutta potenziale) con lo Stato B (sommità del loop, ad altezza $2r$, con velocità $v_{\min}$). In assenza di attrito l’energia meccanica si conserva:

$mgh = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r)$

A sinistra c’è l’energia potenziale iniziale; a destra, l’energia cinetica minima richiesta al vertice più l’energia potenziale a quota $2r$. Risolvendo si trova l’altezza minima di partenza:

$\ev{h = \frac{5}{2}\,r}$

Il risultato è sorprendentemente pulito: bastano due volte e mezza il raggio del loop. La forza di questo approccio sta proprio nel collegamento. La condizione al top ($v_{\min} = \sqrt{gr}$) fornisce il valore di velocità da inserire come dato nel bilancio energetico; la conservazione dell’energia lo traduce in un’altezza. Nessuna delle due, da sola, risponderebbe alla domanda: è il loro incastro a farlo. E se ci fosse attrito lungo la rampa, il bilancio richiederebbe un’altezza maggiore, per compensare l’energia dissipata in calore prima di arrivare al loop.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Giro della morte

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The loop-the-loop, that vertical loop in which a body travels a full circle while staying in contact with the track, unites two ideas that at first sight seem unrelated: the dynamical condition at the top of the loop and the conservation of energy along the whole path. Analysing it with the energy method makes the link between the two transparent.

The starting point is a local condition, valid only at the highest point of the loop. For the body to stay in contact with the track at the top of the loop, its speed cannot drop below a minimum value: at the top it must be at least $v_{\min} = \sqrt{gr}$, where $r$ is the radius of the loop. Below this speed, gravity is no longer entirely “used up” to curve the trajectory, and the body detaches, falling inward. This is the requirement imposed by circular motion at the top, independent of how the body got there.

The natural question is then: from what height must the body start to reach that speed at the top? Here conservation of energy comes into play, bridging the start and the top. Treating the motion as a chain of states, we compare State A (starting from rest, at a height $h$, with energy entirely potential) with State B (top of the loop, at height $2r$, with speed $v_{\min}$). In the absence of friction, mechanical energy is conserved:

$mgh = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r)$

On the left is the initial potential energy; on the right, the minimum kinetic energy required at the top plus the potential energy at height $2r$. Solving gives the minimum starting height:

$\ev{h = \frac{5}{2}\,r}$

The result is surprisingly clean: two and a half times the radius of the loop is enough. The strength of this approach lies precisely in the connection. The condition at the top ($v_{\min} = \sqrt{gr}$) supplies the speed value to feed into the energy balance; conservation of energy translates it into a height. Neither one, alone, would answer the question: it’s their combination that does. And if there were friction along the ramp, the balance would require a greater height, to make up for the energy dissipated as heat before reaching the loop.

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Topics: Lavoro ed energia Concepts: Conservazione dell’energia meccanica · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Skills: Conservazione dell’energia Objects: Giro della morte

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Quando due corpi a temperature diverse vengono messi a contatto, l’energia termica fluisce dal più caldo al più freddo fino a raggiungere una temperatura comune. Anche questo è un problema di conservazione dell’energia: nulla di nuovo rispetto ai bilanci meccanici, se non che qui il serbatoio in gioco è l’energia termica di ciascun corpo.

L’idea è che, in un sistema isolato, l’energia termica ceduta dal corpo caldo è esattamente pari a quella acquistata dal corpo freddo. Il corpo caldo si raffredda, il corpo freddo si scalda, e il processo continua finché entrambi raggiungono la stessa temperatura finale: da quel momento non c’è più squilibrio che spinga l’energia a fluire in un verso o nell’altro. La temperatura comune di equilibrio è quel valore intermedio per cui i conti tornano, cioè per cui la perdita di uno pareggia il guadagno dell’altro.

Poiché l’energia termica di ciascun corpo vale $E_\text{term} = m\,c_s\,T_K$, il bilancio dipende da tre ingredienti per ogni corpo: la sua massa, il suo calore specifico e la sua temperatura. Un corpo con grande massa o grande calore specifico “pesa” di più nel bilancio, e trascina la temperatura di equilibrio verso il proprio valore iniziale: è la ragione per cui una grande massa d’acqua tiepida non viene scaldata quasi per nulla da un piccolo oggetto rovente immerso in essa.

Attenzione

Nell’equazione dell’equilibrio termico le temperature devono essere sempre in kelvin ($T_K = T_{°C} + 273$). L’energia termica è $E_{\text{term}} = m\,c_s\,T_K$.

Questa avvertenza non è un cavillo formale: usare i gradi Celsius al posto dei kelvin altera i valori di $E_\text{term}$ e falsa il bilancio, soprattutto quando compaiono temperature negative in Celsius, che in kelvin restano invece positive. Convertire tutte le temperature in kelvin prima di scrivere l’equazione calorimetrica è il passo che mette al riparo dagli errori più insidiosi.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Calore specifico e capacità termica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Equazione calorimetrica Oggetti: Calorimetro

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When two bodies at different temperatures are brought into contact, thermal energy flows from the hotter to the colder one until a common temperature is reached. This too is a conservation-of-energy problem: nothing new compared with mechanical balances, except that here the reservoir in play is the thermal energy of each body.

The idea is that, in an isolated system, the thermal energy given up by the hot body equals exactly that gained by the cold body. The hot body cools, the cold body heats up, and the process continues until both reach the same final temperature: from that moment on there’s no imbalance left to drive energy to flow one way or the other. The common equilibrium temperature is the intermediate value for which the books balance, that is, for which the loss of one matches the gain of the other.

Since the thermal energy of each body is $E_\text{term} = m\,c_s\,T_K$, the balance depends on three ingredients for each body: its mass, its specific heat and its temperature. A body with a large mass or a large specific heat “weighs” more in the balance, and pulls the equilibrium temperature towards its own initial value: this is why a large mass of lukewarm water is barely heated at all by a small red-hot object immersed in it.

Warning

In the thermal-equilibrium equation, temperatures must always be in kelvin ($T_K = T_{°C} + 273$). Thermal energy is $E_{\text{term}} = m\,c_s\,T_K$.

This warning isn’t a formal quibble: using degrees Celsius instead of kelvin alters the values of $E_\text{term}$ and skews the balance, especially when negative Celsius temperatures appear, which remain positive in kelvin. Converting all temperatures to kelvin before writing the calorimetric equation is the step that guards against the most insidious errors.

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Nei problemi più complessi il moto attraversa diversi stati (A, B, C, D…), ciascuno con condizioni diverse: attrito presente o assente, molla compressa o rilassata, corpo in volo o a contatto col piano. Un unico bilancio scritto tra l’inizio e la fine del moto rischierebbe di mescolare situazioni troppo diverse, in cui compaiono o scompaiono termini di energia potenziale elastica, contributi dell’attrito, cambi di quota. La strategia vincente è spezzare il percorso in tratti omogenei.

L’idea centrale è applicare la conservazione dell’energia stato per stato: i valori finali di uno stato diventano i valori iniziali del successivo. Ogni transizione tra due stati consecutivi è un piccolo problema di conservazione a sé, con le sue forze e i suoi termini attivi; il legame tra i pezzi è garantito dal fatto che il corpo esce da una transizione con la stessa velocità, la stessa quota e la stessa energia con cui entra nella successiva. Così la conservazione dell’energia non si applica una volta sola, ma si propaga di anello in anello lungo tutta la catena.

Concretamente questo significa che la tabella energetica cambia forma a ogni transizione, perché a ogni transizione cambiano i termini in gioco. Il passaggio da uno stato in cui la molla lavora a uno in cui è rilassata fa comparire o sparire l’energia potenziale elastica; l’ingresso in un tratto con attrito aggiunge la colonna dell’energia termica, che da quel punto in poi può solo crescere; un tratto di volo libero conserva solo energia cinetica e potenziale gravitazionale. Tenere una tabella distinta per ciascuna transizione, e riportare fedelmente i valori finali di una come iniziali della seguente, è ciò che permette di affrontare problemi altrimenti ingestibili senza perdere il controllo del bilancio energetico complessivo.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia termica da attrito Competenze: Uso della tabella energetica · Conservazione dell’energia Metodi: Tabella energetica a stati

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In more complex problems the motion passes through several states (A, B, C, D…), each with different conditions: friction present or absent, spring compressed or relaxed, body in flight or in contact with the surface. A single balance written between the start and the end of the motion would risk mixing together situations too different from each other, in which elastic-potential-energy terms, friction contributions, and changes in height appear or disappear. The winning strategy is to break the path into homogeneous stretches.

The central idea is to apply conservation of energy state by state: the final values of one state become the initial values of the next. Each transition between two consecutive states is a small conservation problem in its own right, with its own forces and its own active terms; the link between the pieces is guaranteed by the fact that the body leaves one transition with the same speed, the same height and the same energy with which it enters the next. So conservation of energy is not applied just once, but propagates link by link along the whole chain.

Concretely this means that the energy table changes shape at every transition, because the terms in play change at every transition. The passage from a state in which the spring is acting to one in which it is relaxed makes elastic potential energy appear or disappear; entering a stretch with friction adds the thermal-energy column, which from that point on can only grow; a stretch of free flight conserves only kinetic and gravitational potential energy. Keeping a separate table for each transition, and faithfully carrying over the final values of one as the initial values of the next, is what makes it possible to tackle otherwise unmanageable problems without losing control of the overall energy balance.

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L'energia come contabile silenzioso

L’energia è forse il concetto più strano di tutta la fisica classica. Non si vede, non si tocca, non corrisponde a nessuna “cosa”. Eppure non esiste processo in natura in cui la sua contabilità non torni. Ogni joule trasferito deve essere segnato in qualche colonna del libro mastro: cinetica, potenziale, termica, chimica, elettrica… Feynman, nelle sue Lezioni (Feynman, Leighton e Sands 1963), dice che l’energia è come il numero di pedine a un certo gioco: possiamo non sapere cosa siano, ma se contiamo prima e dopo ogni mossa troviamo sempre lo stesso numero. La conservazione dell’energia non è una legge che deduciamo dall’esperienza: è l’esperienza stessa che ci costringe a cercare, in ogni fenomeno nuovo, una nuova colonna di bilancio da aggiungere al libro mastro.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica

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Energy as a silent accountant

Energy is perhaps the strangest concept in all of classical physics. It cannot be seen, cannot be touched, and does not correspond to any “thing”. Yet there is no process in nature whose books fail to balance. Every joule transferred must be recorded in some column of the ledger: kinetic, potential, thermal, chemical, electrical… Feynman, in his Lectures (Feynman, Leighton and Sands 1963), says that energy is like the number of pieces in a certain game: we may not know what they are, but if we count before and after every move we always find the same number. Conservation of energy is not a law we deduce from experience: it is experience itself that forces us, in every new phenomenon, to search for a new column of the ledger to add.

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Topics: Work and energy Concepts: Conservation of mechanical energy

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L'energia: una valuta che si conserva

A scuola si dice spesso che “l’energia non si crea né si distrugge”. È un’affermazione forte, ma anche un po’ misteriosa: cosa garantisce, nei fatti, che la somma dei termini $\tfrac{1}{2}mv^2 + mgh + \tfrac{1}{2}kx^2 + \ldots$ resti la stessa? Storicamente, nessuna “legge prima” impose tale conservazione: gli scienziati la costruirono, inventando di volta in volta nuovi tipi di energia ogni volta che il bilancio sembrava non chiudere. Fu Joule a recuperare l’energia persa per attrito chiamandola “energia termica”; fu Mayer a indovinare che il calore dell’organismo umano è energia chimica trasformata; furono gli ingegneri ottocenteschi a inventare il concetto di energia elastica nelle molle. Ogni volta, l’idea era la stessa: se vogliamo che il bilancio si chiuda, conviene ammettere che esista questo nuovo serbatoio. Vista così, la conservazione dell’energia è meno una scoperta empirica e più un programma di ricerca riuscito: la natura, ogni volta che ci ha sfidato a trovare la moneta mancante, è stata generosa abbastanza da nasconderla in un cassetto inesplorato. Feynman ne parla con grande chiarezza nelle sue Lezioni (Feynman, Leighton e Sands 1963, vol. 1, cap. 4).

Prova tu — simulazione interattiva

Lo skater converte in continuazione energia potenziale in cinetica e viceversa: senza attrito l’energia totale resta costante, con attrito si disperde in calore.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia termica da attrito

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Energy: a currency that is conserved

At school it is often said that “energy is neither created nor destroyed”. That is a strong statement, but also a slightly mysterious one: what actually guarantees that the sum of the terms $\tfrac{1}{2}mv^2 + mgh + \tfrac{1}{2}kx^2 + \ldots$ stays the same? Historically, no “first law” imposed this conservation: scientists built it, inventing new types of energy each time the balance sheet seemed not to close. It was Joule who recovered the energy lost to friction by calling it “thermal energy”; it was Mayer who guessed that the heat of the human body is transformed chemical energy; it was nineteenth-century engineers who invented the concept of elastic energy in springs. Each time, the idea was the same: if we want the balance sheet to close, it is convenient to admit that this new reservoir exists. Seen this way, conservation of energy is less an empirical discovery and more a successful research programme: nature, every time it has challenged us to find the missing coin, has been generous enough to hide it in an unexplored drawer. Feynman discusses this with great clarity in his Lectures (Feynman, Leighton and Sands 1963, vol. 1, ch. 4).

Try it — interactive simulation

The skater continually converts potential energy into kinetic and back: without friction total energy stays constant, with friction it dissipates as heat.

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Topics: Work and energy Concepts: Conservation of mechanical energy · Thermal energy from friction

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