Induzione elettromagnetica

Le cariche in moto producono campi magnetici; questo capitolo scopre la simmetria opposta: un campo magnetico che cambia nel tempo produce un campo elettrico, capace di mettere in moto le cariche di un conduttore e generare corrente. È l’induzione elettromagnetica, scoperta da Michael Faraday nel 1831. Dal flusso magnetico e dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz si arriva all’autoinduzione, ai circuiti oscillanti LC e RLC e alla corrente alternata con reattanze, impedenza e fasori.

Sezioni

• Il paradosso che introduce l’induzione
• Flusso del campo magnetico
• Legge di Faraday-Neumann
• La legge di Lenz come principio autonomo
• Correnti parassite e applicazioni industriali
• Induttanza e autoinduzione
• dt = ±i
• Circuiti LC: oscillazioni elettromagnetiche
• Corrente alternata: circuiti RLC forzati

Riflessioni

• Il segno meno di Lenz
• Quando il campo elettrico smette di essere conservativo

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Moving charges produce magnetic fields; this chapter discovers the opposite symmetry: a magnetic field that changes in time produces an electric field, capable of setting the charges of a conductor in motion and generating a current. This is electromagnetic induction, discovered by Michael Faraday in 1831. From magnetic flux and the Faraday-Neumann-Lenz law we arrive at self-induction, LC and RLC oscillating circuits, and alternating current with reactances, impedance and phasors.

Sections

• The paradox that introduces induction
• Flux of the magnetic field
• The Faraday-Neumann law
• Lenz’s law as an autonomous principle
• Eddy currents and industrial applications
• Inductance and self-induction
• dt = ±i
• LC circuits: electromagnetic oscillations
• Alternating current: driven RLC circuits

Reflections

• Lenz’s minus sign
• When the electric field stops being conservative

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Per formulare la legge di Faraday serve prima il concetto di flusso del campo magnetico attraverso una superficie. Intuitivamente, se disegni le linee di $\vv{B}$, il flusso è proporzionale al numero di linee che attraversano la superficie: molte linee che la bucano in pieno danno flusso grande, linee che scivolano parallele alla superficie danno flusso nullo.

Principio — Flusso magnetico

Il flusso di $\vv{B}$ attraverso una superficie piana $S$ è: $\ev{\Phi_B = \vv{B}\cdot\vv{S} = |\vv{B}|\,|\vv{S}|\,\cos\theta}$ dove $\theta$ è l’angolo tra $\vv{B}$ e la normale alla superficie.

Se $\vv{B}$ non è uniforme, il flusso è la somma (integrale) dei contributi $\vv{B}\cdot d\vv{S}$ sui piccoli elementi di superficie. L’unità di misura è il weber: $1\;\text{Wb} = 1\;\text{T}\cdot\text{m}^2$.

Il fattore $\cos\theta$ racconta la geometria del flusso: dipende da come la superficie è orientata rispetto al campo.

Formula chiave

$\Phi_B = B\,A\,\cos\theta$ Massimo quando $\vv{B}\parallel\uv{n}$ (superficie perpendicolare al campo, $\theta = 0$); nullo quando $\vv{B}\perp\uv{n}$ (superficie parallela al campo, $\theta = 90^\circ$).

È la variazione di questo flusso nel tempo — per cambiamento di $B$, dell’area, o dell’orientazione — a produrre la forza elettromotrice indotta.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Flusso magnetico Competenze: Bilancio di flusso

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To formulate Faraday’s law we first need the concept of flux of the magnetic field through a surface. Intuitively, if you draw the lines of $\vv{B}$, the flux is proportional to the number of lines crossing the surface: many lines piercing it head-on give a large flux, lines sliding parallel to the surface give zero flux.

Principle — Magnetic flux

The flux of $\vv{B}$ through a flat surface $S$ is: $\ev{\Phi_B = \vv{B}\cdot\vv{S} = |\vv{B}|\,|\vv{S}|\,\cos\theta}$ where $\theta$ is the angle between $\vv{B}$ and the normal to the surface.

If $\vv{B}$ is not uniform, the flux is the sum (integral) of the contributions $\vv{B}\cdot d\vv{S}$ over the small surface elements. The unit of measurement is the weber: $1\;\text{Wb} = 1\;\text{T}\cdot\text{m}^2$.

The factor $\cos\theta$ tells the geometric story of the flux: it depends on how the surface is oriented relative to the field.

Key formula

$\Phi_B = B\,A\,\cos\theta$ Maximum when $\vv{B}\parallel\uv{n}$ (surface perpendicular to the field, $\theta = 0$); zero when $\vv{B}\perp\uv{n}$ (surface parallel to the field, $\theta = 90^\circ$).

It is the variation of this flux over time — due to a change in $B$, in the area, or in the orientation — that produces the induced electromotive force.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Magnetic flux Skills: Flux balance

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La legge di Faraday-Neumann contiene un segno meno che a prima vista sembra un dettaglio. Non lo è: è la legge di Lenz, e dentro di sé racchiude un principio di conservazione dell’energia.

Se il segno fosse positivo, la corrente indotta tenderebbe a rinforzare la variazione di flusso che l’ha causata, avviando un processo auto-amplificante: un piccolo disturbo crescerebbe senza limite, e si potrebbe estrarre energia dal nulla. Il segno meno, invece, dice che la corrente indotta si oppone alla causa: si comporta come un “attrito elettromagnetico” che richiede lavoro esterno per essere vinto.

È per questo che una calamita che cade in un tubo di rame rallenta: l’energia cinetica persa dalla calamita non sparisce, si trasforma in calore per effetto Joule nelle correnti indotte. Il segno meno è, in fondo, la traduzione elettromagnetica del primo principio della termodinamica (Battimelli e Stilli 1999; Feynman, Leighton e Sands 1963). Vedi anche Riferimenti bibliografici.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Lenz · Legge di Faraday-Neumann-Lenz

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The Faraday-Neumann law contains a minus sign that at first glance looks like a detail. It is not: it is Lenz’s law, and it embodies a principle of energy conservation.

If the sign were positive, the induced current would tend to reinforce the flux change that caused it, triggering a self-amplifying process: a small disturbance would grow without limit, and one could extract energy from nothing. The minus sign, instead, says that the induced current opposes the cause: it behaves like an “electromagnetic friction” that requires external work to overcome.

This is why a magnet falling through a copper tube slows down: the kinetic energy lost by the magnet does not vanish, it is converted into heat by the Joule effect in the induced currents. The minus sign is, in essence, the electromagnetic translation of the first law of thermodynamics (Battimelli and Stilli 1999; Feynman, Leighton and Sands 1963). See also Riferimenti bibliografici.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Lenz’s law · Faraday-Neumann-Lenz law

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Fino al capitolo sull’elettrostatica abbiamo dato per scontato che il campo elettrico fosse conservativo: la circuitazione di $\vv{E}$ lungo qualsiasi cammino chiuso valeva zero, e questo permetteva di definire un potenziale elettrico univoco. La legge di Faraday rovescia questa certezza: appena il flusso magnetico cambia nel tempo, $\oint\vv{E}\cdot d\vv{\ell} = -d\Phi_B/dt$ può essere diverso da zero. Il campo elettrico indotto, in altre parole, non discende da un potenziale; le sue linee di forza si chiudono su se stesse, come quelle di un campo magnetico stazionario.

Il significato di questa scoperta è enorme. Significa che esiste un campo elettrico “senza cariche”, non generato da un addensamento di carica positiva o negativa, ma da una variazione di flusso magnetico attraverso il cammino lungo cui lo si misura. È quel campo che spinge gli elettroni dentro la spira di una dinamo, dentro l’avvolgimento di un trasformatore, dentro l’antenna di un’autoradio. Senza di esso non avremmo né generatori industriali, né onde radio.

Il prezzo concettuale da pagare è altrettanto grande. Da Faraday in avanti il “potenziale elettrico” che misuriamo nei circuiti non è più, in generale, il vecchio potenziale elettrostatico: è una combinazione fra esso e un nuovo termine legato alla variazione del campo magnetico. Quando colleghi un voltmetro tra due punti di un circuito attraversato da un flusso variabile, la lettura dipende anche dal cammino seguito dai cavi del voltmetro: un risultato sconcertante che fa parte degli “esperimenti pensati” della didattica novecentesca. Fra circa due capitoli, con le equazioni di Maxwell, vedremo che proprio questo termine non conservativo è ciò che permette al campo elettromagnetico di auto-sostenersi e propagarsi nel vuoto: la luce.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Campo elettrico · Potenziale elettrico

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Up to the chapter on electrostatics we took it for granted that the electric field was conservative: the circulation of $\vv{E}$ along any closed path was zero, and this allowed us to define a unique electric potential. Faraday’s law overturns this certainty: as soon as the magnetic flux changes in time, $\oint\vv{E}\cdot d\vv{\ell} = -d\Phi_B/dt$ can be non-zero. In other words, the induced electric field does not derive from a potential; its field lines close on themselves, like those of a stationary magnetic field.

The significance of this discovery is enormous. It means there exists an electric field “without charges”, not generated by an accumulation of positive or negative charge, but by a change in magnetic flux through the path along which it is measured. It is this field that drives electrons inside the loop of a dynamo, inside the winding of a transformer, inside the aerial of a car radio. Without it we would have neither industrial generators nor radio waves.

The conceptual price to pay is equally large. From Faraday onwards, the “electric potential” we measure in circuits is no longer, in general, the old electrostatic potential: it is a combination of it and a new term linked to the change in the magnetic field. When you connect a voltmeter between two points of a circuit through which a varying flux passes, the reading depends also on the path followed by the voltmeter’s leads: an unsettling result that features among the “thought experiments” of twentieth-century teaching. In about two chapters’ time, with Maxwell’s equations, we shall see that it is precisely this non-conservative term that allows the electromagnetic field to self-sustain and propagate through the vacuum: light.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Faraday-Neumann-Lenz law · Electric field · Electric potential

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