Il campo magnetico

Dopo le cariche ferme e i circuiti stazionari, entriamo in uno dei fenomeni più affascinanti dell’elettromagnetismo: il magnetismo. Elettricità e magnetismo sono in realtà due facce della stessa medaglia, una scoperta che richiese più di un secolo e culminò con le equazioni di Maxwell. Questo capitolo introduce il campo magnetico $\vec{B}$, la forza di Lorentz sulle cariche in moto, la forza di Laplace sui fili, le sorgenti del campo (filo, lamina, solenoide), il teorema di Ampère, la spira come dipolo magnetico e il motore elettrico, chiudendo con l’effetto Hall.

Contesto storico — Ørsted, 1820

Fino all’inizio del XIX secolo elettricità e magnetismo erano considerati fenomeni separati. Nel 1820 il danese Hans Christian Ørsted notò per caso, durante una lezione, che l’ago di una bussola posto vicino a un filo percorso da corrente si deviava bruscamente: la prima prova sperimentale che le correnti elettriche producono un campo magnetico, e l’atto di nascita dell’elettromagnetismo.

Sezioni

• Analogia con il campo elettrico
• Linee di campo magnetico
• Forza di Lorentz
• Campo magnetico prodotto da una corrente
• Forza di Laplace su un filo
• Campo magnetico di un piano conduttore
• Spira come dipolo magnetico e motore elettrico
• L’effetto Hall

Riflessioni

• Il magnetismo è elettrostatica più relatività
• La forza magnetica non lavora, e perché non è un paradosso

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

After static charges and steady circuits, we enter one of the most fascinating phenomena of electromagnetism: magnetism. Electricity and magnetism are in fact two faces of the same coin, a discovery that took more than a century and culminated with Maxwell’s equations. This chapter introduces the magnetic field $\vec{B}$, the Lorentz force on moving charges, the Laplace force on wires, the sources of the field (wire, sheet, solenoid), Ampère’s theorem, the loop as a magnetic dipole and the electric motor, closing with the Hall effect.

Historical context — Ørsted, 1820

Until the early nineteenth century, electricity and magnetism were considered separate phenomena. In 1820 the Dane Hans Christian Ørsted noticed, by chance, during a lecture, that a compass needle placed near a current-carrying wire deflected abruptly: the first experimental proof that electric currents produce a magnetic field, and the birth of electromagnetism.

Sections

• Analogy with the electric field
• Magnetic field lines
• Lorentz force
• Magnetic field produced by a current
• Laplace force on a wire
• Magnetic field of a conducting plane
• Loop as a magnetic dipole and electric motor
• The Hall effect

Reflections

• Magnetism is electrostatics plus relativity
• The magnetic force does no work, and why this is not a paradox

Exercises

• All worked exercises of the chapter

Come per il campo elettrico, visualizziamo $\vec{B}$ con le linee di campo: curve tangenti al vettore $\vec{B}$ in ogni punto, percorse nel verso di $\vec{B}$. Là dove le linee si infittiscono il campo è più intenso; dove si diradano è più debole.

Principio — Proprietà delle linee di campo magnetico

• Escono dal Nord ed entrano nel Sud all’esterno del magnete; all’interno vanno dal Sud verso il Nord.
• Sono sempre chiuse: non iniziano né terminano mai (nessun monopolio da cui partire o dove finire).
• Il modulo di $\vec{B}$ è proporzionale alla densità di linee: $|\vec{B}| = \mu_0\,N_\text{linee}/S_\perp$.

La proprietà più caratteristica, e quella che distingue nettamente $\vec{B}$ da $\vec{E}$, è che le linee magnetiche si richiudono su se stesse. Le linee elettriche nascono sulle cariche positive e muoiono su quelle negative; le linee magnetiche, in assenza di monopoli, non hanno né inizio né fine e formano sempre anelli chiusi che attraversano il magnete da parte a parte.

Linee di campo di una calamita: escono dal Nord, rientrano nel Sud all’esterno e si richiudono passando dal Sud al Nord all’interno.

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As with the electric field, we visualise $\vec{B}$ with field lines: curves tangent to the vector $\vec{B}$ at every point, traced in the direction of $\vec{B}$. Where the lines bunch together the field is stronger; where they spread out it is weaker.

Principle — Properties of magnetic field lines

• They leave the North pole and enter the South pole outside the magnet; inside they go from South towards North.
• They are always closed: they never start or end (no monopole for them to start from or finish at).
• The magnitude of $\vec{B}$ is proportional to the density of lines: $|\vec{B}| = \mu_0\,N_\text{lines}/S_\perp$.

The most characteristic property, and the one that clearly distinguishes $\vec{B}$ from $\vec{E}$, is that magnetic lines close back on themselves. Electric lines start on positive charges and end on negative ones; magnetic lines, in the absence of monopoles, have neither beginning nor end and always form closed loops that pass right through the magnet.

Field lines of a magnet: they leave the North pole, re-enter the South pole outside, and close by passing from South to North inside.

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Topics: Magnetismo Concepts: Campo magnetico

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Un filo percorso da corrente in un campo magnetico esterno subisce una forza. Non è un fenomeno nuovo: è semplicemente la somma delle forze di Lorentz su tutte le cariche che scorrono nel filo. Sommando i contributi $q\,\vec{v}\times\vec{B}$ dei portatori si ottiene una legge compatta in termini della corrente.

Legge — Forza di Laplace

Su un tratto di filo di lunghezza $\Delta\vec{\ell}$ (orientato nel verso della corrente $i$) immerso in un campo $\vec{B}$ agisce la forza: $\ev{\vec{F} = i\,(\Delta\vec{\ell}\times\vec{B})}$

Il modulo è $|F| = i\,\ell\,B\,\sin\theta$, con $\theta$ angolo tra il filo e $\vec{B}$: massimo quando il filo è perpendicolare al campo, nullo quando è parallelo. La direzione, come sempre nei prodotti vettoriali magnetici, è perpendicolare al piano di $\Delta\vec{\ell}$ e $\vec{B}$, con verso dato dalla regola della mano destra.

Questa forza è il ponte verso le applicazioni: due fili paralleli che si attraggono o respingono, la bilancia di corrente, e soprattutto la coppia su una spira che fa girare i motori elettrici. Quando la spira è chiusa, le forze sui lati opposti hanno risultante nulla ma braccio non nullo: non traslano la spira, la fanno ruotare.

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A wire carrying a current in an external magnetic field experiences a force. This is not a new phenomenon: it is simply the sum of the Lorentz forces on all the charges flowing in the wire. Summing the contributions $q\,\vec{v}\times\vec{B}$ of the carriers gives a compact law in terms of the current.

Law — Laplace force

On a segment of wire of length $\Delta\vec{\ell}$ (oriented in the direction of the current $i$) immersed in a field $\vec{B}$, the force acting is: $\ev{\vec{F} = i\,(\Delta\vec{\ell}\times\vec{B})}$

The magnitude is $|F| = i\,\ell\,B\,\sin\theta$, with $\theta$ the angle between the wire and $\vec{B}$: maximum when the wire is perpendicular to the field, zero when it is parallel. The direction, as always with magnetic cross products, is perpendicular to the plane of $\Delta\vec{\ell}$ and $\vec{B}$, with the direction given by the right-hand rule.

This force is the bridge to applications: two parallel wires that attract or repel each other, the current balance, and above all the torque on a loop that makes electric motors turn. When the loop is closed, the forces on opposite sides have zero resultant but non-zero moment arm: they do not translate the loop, they make it rotate.

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Oltre a fili, spire e solenoidi, esiste un’altra geometria importante: una lamina conduttrice (piano infinito) in cui scorre una corrente distribuita uniformemente. È l’analogo magnetico del piano carico in elettrostatica.

La distribuzione si descrive con la densità superficiale di corrente $K$, misurata in A/m (ampere per metro di larghezza): tagliando la lamina con una linea perpendicolare alla corrente di lunghezza $\ell$, attraverso di essa scorre una corrente $i = K\ell$.

Lamina conduttrice piana con densità superficiale di corrente $\vec{K}$: il campo è parallelo alla lamina e perpendicolare a $\vec{K}$, con verso opposto sopra e sotto.

Calcolo con il teorema di Ampère. Scegliamo un percorso amperiano rettangolare di larghezza $w$ e altezza $2h$, centrato sulla lamina, con i lati orizzontali paralleli a $\vec{K}$. Per simmetria il campo sopra e sotto è orizzontale e di uguale modulo $B$; i lati verticali del rettangolo non contribuiscono ($\vec{B}\perp\dd\vec{\ell}$). Restano i due lati orizzontali, che contribuiscono entrambi con $B\,w$ nella stessa direzione:

$\oint \vec{B}\cdot\dd\vec{\ell} = B\,w + B\,w = 2B\,w$

La corrente concatenata è $i_\text{conc} = K\,w$, quindi $2B\,w = \mu_0 K\,w$:

$\ev{B = \frac{\mu_0\,K}{2}}$

Legge — Campo di una lamina piana con corrente

Una lamina conduttrice infinita con densità superficiale di corrente $K$ (in A/m) produce un campo magnetico uniforme su ciascun lato: $B = \frac{\mu_0\,K}{2}$ Il campo è parallelo alla lamina, perpendicolare a $\vec{K}$, e cambia verso passando da un lato all’altro. Notevole: il campo non dipende dalla distanza dalla lamina.

Analogia elettrostatica

Come il piano carico dà $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ (uniforme, indipendente dalla distanza), il piano con corrente $K$ dà $B = \mu_0 K/2$ su ogni lato.

Esempio — Due lamine parallele con correnti opposte

Due lamine parallele portano densità di corrente $K$ in versi opposti, come i piatti di un condensatore. Tra di esse i campi si sommano, all’esterno si cancellano. Nella regione interna: $B_\text{interno} = 2\cdot\frac{\mu_0 K}{2} = \mu_0 K$ È la configurazione analoga al solenoide piano, usata nei cavi coassiali “a nastro”.

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Besides wires, loops and solenoids, there is another important geometry: a conducting sheet (infinite plane) carrying a uniformly distributed current. It is the magnetic analogue of the charged plane in electrostatics.

The distribution is described by the surface current density $K$, measured in A/m (amperes per metre of width): cutting the sheet with a line of length $\ell$ perpendicular to the current, a current $i = K\ell$ flows through it.

Flat conducting sheet with surface current density $\vec{K}$: the field is parallel to the sheet and perpendicular to $\vec{K}$, with opposite directions above and below.

Calculation with Ampère’s theorem. We choose a rectangular Ampèrian path of width $w$ and height $2h$, centred on the sheet, with the horizontal sides parallel to $\vec{K}$. By symmetry the field above and below is horizontal and of equal magnitude $B$; the vertical sides of the rectangle contribute nothing ($\vec{B}\perp\dd\vec{\ell}$). What remains are the two horizontal sides, which both contribute $B\,w$ in the same direction:

$\oint \vec{B}\cdot\dd\vec{\ell} = B\,w + B\,w = 2B\,w$

The enclosed current is $i_\text{conc} = K\,w$, so $2B\,w = \mu_0 K\,w$:

$\ev{B = \frac{\mu_0\,K}{2}}$

Law — Field of a flat sheet with current

An infinite conducting sheet with surface current density $K$ (in A/m) produces a uniform magnetic field on each side: $B = \frac{\mu_0\,K}{2}$ The field is parallel to the sheet, perpendicular to $\vec{K}$, and changes direction going from one side to the other. Notably: the field does not depend on the distance from the sheet.

Electrostatic analogy

Just as the charged plane gives $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ (uniform, independent of distance), the plane with current $K$ gives $B = \mu_0 K/2$ on each side.

Example — Two parallel sheets with opposite currents

Two parallel sheets carry current density $K$ in opposite directions, like the plates of a capacitor. Between them the fields add up, outside they cancel. In the internal region: $B_\text{interno} = 2\cdot\frac{\mu_0 K}{2} = \mu_0 K$ This is the configuration analogous to the flat solenoid, used in “ribbon” coaxial cables.

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Quando una corrente $i$ scorre in un conduttore piatto immerso in un campo magnetico $\vec{B}$ perpendicolare al piano della corrente, appare una differenza di potenziale trasversale: è l’effetto Hall (Edwin Hall, 1879).

Effetto Hall: la corrente in un campo trasverso accumula cariche su un bordo, creando una tensione $\Delta V_H$ perpendicolare alla corrente.

Spiegazione fisica. La corrente è dovuta a portatori di carica $q$ (positivi o negativi a seconda del materiale) con velocità di deriva $v_d$. Su ognuno agisce la forza di Lorentz $\vec{F} = q\,\vec{v}_d\times\vec{B}$ che li spinge verso un bordo del conduttore. Le cariche accumulate lì creano un campo elettrico trasverso $\vec{E}_H$ che a regime equilibra la forza magnetica:

$q\,E_H = q\,v_d\,B \quad\Longrightarrow\quad \ev{V_H = v_d\,B\,w}$

dove $w$ è la larghezza del conduttore. Inserendo $v_d = i/(n\,e\,A)$, con $n$ densità di portatori e $A = w\,t$ sezione ($t$ spessore):

$V_H = \frac{i\,B}{n\,e\,t}$

Formula chiave — Effetto Hall

$V_H = \frac{iB}{net}$ $R_H = 1/(ne)$: coefficiente di Hall, dipende solo dal materiale. Il segno di $V_H$ rivela il segno della carica dei portatori.

Principio — Conseguenze dell'effetto Hall

• Fornisce una misura diretta di $n$ (densità di portatori) e del segno della carica: in alcuni semiconduttori $V_H$ ha segno opposto a quello previsto per gli elettroni, indicando portatori effettivi positivi (le lacune).
• Le sonde Hall sono usate ovunque serva misurare $\vec{B}$ elettronicamente: motori brushless, sensori ABS automotive, pedali magnetici, pickup di chitarra.
• Su scala micro, l’effetto Hall quantistico (von Klitzing, 1980; Nobel 1985) mostra che a basse temperature e campi intensi $V_H$ è quantizzato in multipli interi o frazionari di $h/e^2$, definendo lo standard primario di resistenza ($R_K = h/e^2 \approx 25\,812\;\Omega$).

Esempio — Sonda Hall di laboratorio

Una lamina di indio antimoniuro (InSb) ha spessore $t = 0{,}1\;\text{mm}$, larghezza $w = 5\;\text{mm}$ e densità di portatori $n = 2{,}5\cdot 10^{22}\;\text{m}^{-3}$. Con $i = 100\;\text{mA}$ in un campo $B = 0{,}5\;\text{T}$: $V_H = \frac{iB}{net} = \frac{0{,}1\cdot 0{,}5}{2{,}5\cdot 10^{22}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-4}} \approx 0{,}125\;\text{V} = 125\;\text{mV}$ Ben misurabile con un voltmetro standard. In un metallo ($n \approx 10^{29}\;\text{m}^{-3}$) la stessa configurazione darebbe $V_H \sim 30\;\mu\text{V}$: per questo le sonde Hall si fanno con semiconduttori, non con metalli — pochi portatori, tensione grande.

Sintesi

Hall: $V_H = iB/(net)$. Misura $B$, $n$ e il segno dei portatori. Le sonde Hall sono il magnetometro più diffuso al mondo.

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When a current $i$ flows in a flat conductor immersed in a magnetic field $\vec{B}$ perpendicular to the plane of the current, a transverse potential difference appears: this is the Hall effect (Edwin Hall, 1879).

Hall effect: the current in a transverse field accumulates charges on one edge, creating a voltage $\Delta V_H$ perpendicular to the current.

Physical explanation. The current is due to charge carriers $q$ (positive or negative depending on the material) with drift velocity $v_d$. On each of them the Lorentz force $\vec{F} = q\,\vec{v}_d\times\vec{B}$ acts, pushing them towards one edge of the conductor. The charges accumulated there create a transverse electric field $\vec{E}_H$ which, at steady state, balances the magnetic force:

$q\,E_H = q\,v_d\,B \quad\Longrightarrow\quad \ev{V_H = v_d\,B\,w}$

where $w$ is the width of the conductor. Substituting $v_d = i/(n\,e\,A)$, with $n$ the carrier density and $A = w\,t$ the cross-section ($t$ thickness):

$V_H = \frac{i\,B}{n\,e\,t}$

Key formula — Hall effect

$V_H = \frac{iB}{net}$ $R_H = 1/(ne)$: Hall coefficient, depends only on the material. The sign of $V_H$ reveals the sign of the carriers’ charge.

Principle — Consequences of the Hall effect

• It provides a direct measurement of $n$ (carrier density) and of the sign of the charge: in some semiconductors $V_H$ has the opposite sign to that predicted for electrons, indicating effective positive carriers (holes).
• Hall probes are used everywhere $\vec{B}$ needs to be measured electronically: brushless motors, automotive ABS sensors, magnetic pedals, guitar pickups.
• On the micro scale, the quantum Hall effect (von Klitzing, 1980; Nobel 1985) shows that at low temperatures and intense fields $V_H$ is quantised in integer or fractional multiples of $h/e^2$, defining the primary standard of resistance ($R_K = h/e^2 \approx 25\,812\;\Omega$).

Example — Laboratory Hall probe

An indium antimonide (InSb) sheet has thickness $t = 0.1\;\text{mm}$, width $w = 5\;\text{mm}$ and carrier density $n = 2.5\cdot 10^{22}\;\text{m}^{-3}$. With $i = 100\;\text{mA}$ in a field $B = 0.5\;\text{T}$: $V_H = \frac{iB}{net} = \frac{0.1\cdot 0.5}{2.5\cdot 10^{22}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\cdot 10^{-4}} \approx 0.125\;\text{V} = 125\;\text{mV}$ Easily measurable with a standard voltmeter. In a metal ($n \approx 10^{29}\;\text{m}^{-3}$) the same configuration would give $V_H \sim 30\;\mu\text{V}$: this is why Hall probes are made with semiconductors, not metals — few carriers, large voltage.

Summary

Hall: $V_H = iB/(net)$. It measures $B$, $n$ and the sign of the carriers. Hall probes are the most widespread magnetometer in the world.

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È uno dei risultati più eleganti della fisica moderna: il campo magnetico non è una forza indipendente, è quello che un osservatore in moto rispetto a una distribuzione di cariche “vede” al posto di una forza puramente elettrica.

Immaginiamo un filo percorso da corrente in cui, per assurdo, non circolasse realmente nessun elettrone e la corrente fosse prodotta in altro modo. Un osservatore fermo vedrebbe solo un campo magnetico. Ma un osservatore che si muove con gli elettroni del filo vedrebbe invece una contrazione di Lorentz che rompe l’equilibrio tra cariche positive e negative, creando uno squilibrio di carica netta, cioè un campo elettrico. Quella che per il primo osservatore è forza magnetica, per il secondo è forza elettrica: la stessa fisica, descritta in modo diverso.

Quello che chiamiamo “magnetismo” è quindi il riflesso relativistico dell’elettricità. Einstein, nel suo articolo del 1905, parte proprio da questa osservazione: il campo elettromagnetico è un’unica cosa, vista in modo diverso da osservatori diversi (Feynman 1963; Einstein 1938).

Un'unica realtà, due nomi

La distinzione tra “campo elettrico” e “campo magnetico” non è assoluta: dipende dallo stato di moto dell’osservatore. Solo il campo elettromagnetico, nel suo complesso, è una grandezza fisica ben definita e indipendente dal riferimento.

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This is one of the most elegant results in modern physics: the magnetic field is not an independent force, it is what an observer moving relative to a distribution of charges “sees” in place of a purely electric force.

Imagine a current-carrying wire in which, hypothetically, no electron actually circulated and the current were produced some other way. An observer at rest would see only a magnetic field. But an observer moving with the wire’s electrons would instead see a Lorentz contraction that breaks the balance between positive and negative charges, creating a net charge imbalance, that is, an electric field. What is a magnetic force for the first observer is an electric force for the second: the same physics, described differently.

What we call “magnetism” is thus the relativistic reflection of electricity. Einstein, in his 1905 paper, starts precisely from this observation: the electromagnetic field is a single thing, seen differently by different observers (Feynman 1963; Einstein 1938).

One reality, two names

The distinction between “electric field” and “magnetic field” is not absolute: it depends on the observer’s state of motion. Only the electromagnetic field, as a whole, is a well-defined physical quantity independent of the reference frame.

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Uno dei punti che spiazza di più alla prima lettura è questo: la forza di Lorentz $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$ è sempre perpendicolare alla velocità, dunque non compie lavoro. Eppure i motori elettrici funzionano, le calamite sollevano oggetti e gli acceleratori spendono energia per curvare i fasci. Dov’è il trucco?

Il trucco è che la forza magnetica, in sé, non scambia energia cinetica con la particella, ma ne redirige il moto. Nei dispositivi che usiamo c’è quasi sempre una sorgente di energia elettrica (una batteria, la rete) che, indirettamente, fornisce il lavoro. Quando un motore in corrente continua gira, l’energia entra come potenza elettrica $VI$ alle spazzole ed esce come lavoro meccanico, mentre il campo magnetico fa solo da mediatore tra le due forme. Quando una calamita solleva un chiodo, il lavoro è fatto dalle forze che hanno magnetizzato il chiodo (in ultima analisi le correnti atomiche accoppiate ai campi elettrici interni).

Questa distinzione tra “forza che reindirizza” e “forza che lavora” è una delle più sottili di tutta la fisica classica. Un suo cugino si trova nella forza di vincolo che tiene un’auto in curva (anch’essa perpendicolare alla velocità, anch’essa con lavoro nullo) o nella tensione del filo in un pendolo conico. La morale generale è che l’energia non sale e scende secondo le forze in gioco, ma secondo i prodotti scalari tra forze e spostamenti.

Da ricordare

Una forza perpendicolare alla velocità cambia la direzione del moto ma non il modulo della velocità, quindi non l’energia cinetica. Conviene tenerlo presente nei bilanci energetici dei circuiti con motori e nei generatori a induzione.

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One of the most disorienting points on first reading is this: the Lorentz force $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$ is always perpendicular to the velocity, so it does no work. Yet electric motors work, magnets lift objects and accelerators spend energy bending beams. Where’s the trick?

The trick is that the magnetic force, by itself, does not exchange kinetic energy with the particle, but redirects its motion. In the devices we use there is almost always a source of electrical energy (a battery, the mains) that indirectly provides the work. When a DC motor turns, energy enters as electrical power $VI$ at the brushes and leaves as mechanical work, while the magnetic field acts only as a mediator between the two forms. When a magnet lifts a nail, the work is done by the forces that magnetised the nail (ultimately the atomic currents coupled to internal electric fields).

This distinction between “force that redirects” and “force that does work” is one of the subtlest in all of classical physics. A cousin of it is found in the constraint force that keeps a car on a curve (also perpendicular to the velocity, also doing zero work) or in the tension of the string in a conical pendulum. The general moral is that energy does not rise and fall according to the forces at play, but according to the scalar products between forces and displacements.

Worth remembering

A force perpendicular to the velocity changes the direction of motion but not the magnitude of the velocity, and hence not the kinetic energy. It is worth keeping this in mind in the energy balances of circuits with motors and in induction generators.

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