Circuiti elettrici

In un circuito elettrico le cariche positive si muovono spontaneamente verso le zone a potenziale più basso, cedendo energia; un generatore le riporta alla quota di partenza fornendo energia dall’esterno, mentre lungo il percorso la resistenza converte energia elettrica in calore. È la stessa storia di un circuito idraulico: il generatore è la pompa, il resistore è il tubo stretto, la corrente è il flusso d’acqua. Questo capitolo costruisce, pezzo per pezzo, il modello dei circuiti: corrente e legge di Ohm, la batteria e la sua forza elettromotrice, le reti di resistori, gli strumenti di misura, le leggi di Kirchhoff, il bilancio energetico, i condensatori e infine semiconduttori e superconduttori.

Sezioni

• Corrente elettrica
• Legge di Ohm
• La batteria: forza elettromotrice
• Resistenze in serie e in parallelo
• Strumenti di misura elettrica
• Leggi di Kirchhoff
• Energia e potenza nei circuiti
• Ponte di Wheatstone
• Circuiti a scala infinita
• Bilancio energetico dei circuiti
• Condensatori nei circuiti
• Semiconduttori e superconduttori

Riflessioni

• L’analogia idraulica e i suoi limiti
• Il circuito come modello

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In an electric circuit positive charges move spontaneously towards regions of lower potential, giving up energy; a generator carries them back up to the starting level by supplying energy from outside, while along the way the resistance converts electrical energy into heat. It is the same story as a hydraulic circuit: the generator is the pump, the resistor is the narrow pipe, the current is the flow of water. This chapter builds, piece by piece, the model of circuits: current and Ohm’s law, the battery and its electromotive force, resistor networks, measuring instruments, Kirchhoff’s laws, the energy balance, capacitors and finally semiconductors and superconductors.

Sections

• Electric current
• Ohm’s law
• The battery: electromotive force
• Resistances in series and in parallel
• Electrical measuring instruments
• Kirchhoff’s laws
• Energy and power in circuits
• Wheatstone bridge
• Infinite ladder circuits
• Energy balance of circuits
• Capacitors in circuits
• Semiconductors and superconductors

Reflections

• The hydraulic analogy and its limits
• The circuit as a model

Exercises

• All worked exercises of the chapter

In un circuito elettrico le cariche positive si muovono spontaneamente verso le zone a potenziale più basso, cedendo energia lungo il percorso. Un generatore le riporta continuamente alla quota di partenza, fornendo energia dall’esterno; durante il tragitto le cariche subiscono una sorta di “attrito elettrico”, la resistenza, che converte l’energia elettrica in calore. Questa immagine narrativa è la stessa con cui si descrive un circuito idraulico: il generatore è la pompa, il resistore è il tubo stretto che ostacola il flusso, e la corrente è il flusso d’acqua che scorre nelle tubature.

Principio — Corrente elettrica

La corrente misura quanta carica attraversa una sezione del conduttore nell’unità di tempo. È la grandezza che quantifica il “flusso” del fluido di cariche.

Definizione

La corrente elettrica $i$ è la carica che passa attraverso una sezione del conduttore per unità di tempo:

$i = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$

Si misura in ampere (simbolo A), unità che equivale a un coulomb al secondo:

$\ev{[\,i\,] = \mathrm{A} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}}}$

Se in un secondo attraversa la sezione una carica di un coulomb, la corrente vale un ampere.

Verso convenzionale

Verso della corrente

Per convenzione storica la corrente è diretta dal polo $+$ al polo $-$ del generatore, cioè nel verso opposto al moto reale degli elettroni.

Nei metalli i portatori di carica sono infatti gli elettroni, che hanno carica negativa e si muovono dal $-$ verso il $+$. La convenzione fu però fissata quando la natura dei portatori era ancora ignota, assegnando alla corrente il verso in cui si muoverebbero cariche positive. Le due descrizioni sono del tutto equivalenti dal punto di vista degli effetti: una carica positiva che scorre in un verso è indistinguibile, per il campo e per le correnti prodotte, da una carica negativa che scorre nel verso opposto.

Conduttore e cariche libere

Un conduttore contiene cariche libere — nei metalli sono gli elettroni di valenza, debolmente legati ai singoli atomi — che si mettono in moto ordinato sotto l’azione di un campo elettrico. In un circuito chiuso questo campo non si esaurisce: è mantenuto costante dal generatore, che agisce come una pompa continuando a spingere le cariche e a rifornirle dell’energia dissipata lungo il percorso. Senza generatore il moto ordinato cesserebbe rapidamente e il fluido di cariche tornerebbe all’equilibrio.

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Corrente elettrica

Esercizi collegati: Problema — corrente come flusso · Esercizio svolto — rete mista serie e parallelo · Esercizio svolto — rete di condensatori

In an electric circuit, positive charges move spontaneously towards regions of lower potential, giving up energy along the way. A generator continually carries them back to their starting level, supplying energy from outside; along the way the charges experience a kind of “electrical friction”, resistance, which converts electrical energy into heat. This narrative picture is the same one used to describe a hydraulic circuit: the generator is the pump, the resistor is the narrow pipe that obstructs the flow, and the current is the flow of water running through the pipes.

Principle — Electric current

Current measures how much charge crosses a cross-section of the conductor per unit time. It is the quantity that quantifies the “flow” of the fluid of charges.

Definition

The electric current $i$ is the charge that passes through a cross-section of the conductor per unit time:

$i = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$

It is measured in amperes (symbol A), a unit equal to one coulomb per second:

$\ev{[\,i\,] = \mathrm{A} = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}}}$

If in one second a charge of one coulomb crosses the section, the current is one ampere.

Conventional direction

Direction of the current

By historical convention the current is directed from the $+$ pole to the $-$ pole of the generator, i.e. in the opposite direction to the actual motion of the electrons.

In metals the charge carriers are in fact electrons, which have negative charge and move from $-$ to $+$. The convention was fixed, however, when the nature of the carriers was still unknown, assigning the current the direction in which positive charges would move. The two descriptions are entirely equivalent as far as effects go: a positive charge flowing in one direction is indistinguishable, in terms of the field and currents it produces, from a negative charge flowing in the opposite direction.

Conductor and free charges

A conductor contains free charges — in metals these are the valence electrons, weakly bound to individual atoms — which are set into ordered motion by an electric field. In a closed circuit this field does not die away: it is kept constant by the generator, which acts as a pump, continuing to push the charges and to resupply them with the energy dissipated along the way. Without a generator the ordered motion would quickly cease and the fluid of charges would return to equilibrium.

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Topics: Circuiti elettrici Concepts: Corrente elettrica

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Ogni volta che una corrente attraversa un resistore, l’energia elettrica si trasforma in calore: è l’effetto Joule. Le cariche in moto urtano il reticolo del conduttore cedendo energia, che si manifesta come riscaldamento. Quantificare questa dissipazione — e più in generale il flusso di energia in un circuito — è essenziale per dimensionare correttamente componenti e impianti.

Potenza dissipata da un resistore

La potenza dissipata in un resistore percorso da corrente si può scrivere in tre forme equivalenti, ottenute combinando $P = \Delta V \cdot i$ con la legge di Ohm $\Delta V = R\,i$:

Formula chiave — potenza sul resistore

$P_R = R\,i^2 = \Delta V \cdot i = \frac{(\Delta V)^2}{R}$

Le tre espressioni sono la stessa cosa vista da angolazioni diverse: la prima è comoda quando si conosce la corrente, la terza quando si conosce la tensione ai capi. Tutta questa potenza abbandona il circuito sotto forma di calore.

Bilancio di potenza

In un circuito in regime stazionario vale un principio di conservazione dell’energia in forma di potenza: quella che i generatori immettono nel circuito deve essere pari a quella che i resistori dissipano.

Principio — Bilancio di potenza

$\sum_{\text{gen}} \mathcal{E}\,i = \sum_{\text{res}} R\,i^2$

A sinistra la potenza erogata da ciascun generatore (forza elettromotrice per corrente che lo attraversa); a destra la potenza dissipata per effetto Joule su tutti i resistori. Questo bilancio è spesso il modo più rapido per controllare la coerenza dei risultati di un’analisi di rete: se i due membri non coincidono, da qualche parte c’è un errore.

Attenzione al parallelo

Il bilancio di potenza spiega un fatto pratico importante e a prima vista controintuitivo: aggiungere apparecchi in parallelo aumenta il consumo complessivo, non lo divide.

Sovraccarico dell'impianto

A parità di tensione, minore è la resistenza equivalente, maggiore è la corrente e quindi maggiore la potenza dissipata. Collegando troppi apparecchi in parallelo la resistenza equivalente crolla, la corrente totale sale e si può sovraccaricare l’impianto — con rischio di surriscaldamento dei fili e intervento delle protezioni.

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Effetto Joule

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Every time a current flows through a resistor, electrical energy is converted into heat: this is the Joule effect. The moving charges collide with the conductor’s lattice, giving up energy that appears as heating. Quantifying this dissipation — and more generally the flow of energy in a circuit — is essential for correctly sizing components and installations.

Power dissipated by a resistor

The power dissipated in a current-carrying resistor can be written in three equivalent forms, obtained by combining $P = \Delta V \cdot i$ with Ohm’s law $\Delta V = R\,i$:

Key formula — power in the resistor

$P_R = R\,i^2 = \Delta V \cdot i = \frac{(\Delta V)^2}{R}$

The three expressions are the same thing seen from different angles: the first is handy when the current is known, the third when the voltage across the resistor is known. All of this power leaves the circuit as heat.

Power balance

In a circuit in steady state, a conservation-of-energy principle holds in the form of power: the power the sources feed into the circuit must equal the power dissipated by the resistors.

Principle — Power balance

$\sum_{\text{gen}} \mathcal{E}\,i = \sum_{\text{res}} R\,i^2$

On the left, the power delivered by each source (electromotive force times the current flowing through it); on the right, the power dissipated by the Joule effect across all the resistors. This balance is often the quickest way to check the consistency of the results of a network analysis: if the two sides do not match, there is an error somewhere.

Beware of parallel connections

The power balance explains an important, and at first sight counter-intuitive, practical fact: adding appliances in parallel increases overall consumption, it does not divide it.

Overloading the installation

At constant voltage, the lower the equivalent resistance, the higher the current, and hence the higher the dissipated power. Connecting too many appliances in parallel makes the equivalent resistance plummet, the total current rise, and the installation can be overloaded — with the risk of the wires overheating and the protections tripping.

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Topics: Electric circuits Concepts: Power · Joule effect

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Il ponte di Wheatstone è un circuito a quattro resistori disposti a rombo che permette di misurare una resistenza incognita con grandissima precisione, comparandola con resistenze note. La sua forza sta in un’idea sottile: invece di misurare direttamente una corrente o una tensione (operazione sempre affetta da errore strumentale), si cerca la condizione in cui una corrente si annulla — un confronto molto più netto e affidabile.

Principio di equilibrio

I quattro resistori formano un rombo con i vertici A (polo +), C, D e B (polo −). Tra C e D è inserito un galvanometro $G$, strumento sensibilissimo che rivela correnti piccolissime. Il ponte è in equilibrio quando la corrente nel galvanometro è nulla.

Principio — Equilibrio del ponte di Wheatstone

Il ponte è in equilibrio quando $I_G = 0$. La condizione di equilibrio è: $\ev{\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}}$

Ponte di Wheatstone: quattro resistori a rombo con un galvanometro $G$ sul ramo centrale e un generatore esterno. All’equilibrio ($I_G = 0$) vale $R_1/R_2 = R_3/R_4$.

Derivazione della condizione

Quando $I_G = 0$ nessuna corrente passa nel ramo centrale: C e D si trovano allora allo stesso potenziale. Il circuito si comporta come due rami indipendenti in parallelo, ciascuno percorso da una sola corrente:

$i_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_3} \qquad i_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + R_4}$

Poiché $V_C = V_D$, le cadute di potenziale sui due resistori superiori $R_1$ e $R_2$ devono essere uguali:

$R_1\,i_1 = R_2\,i_2 \;\Rightarrow\; R_1 \cdot \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_3} = R_2 \cdot \frac{\mathcal{E}}{R_2+R_4} \;\Rightarrow\; \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$

Come si usa

Nella pratica si conoscono $R_1$ e $R_2$ (fissi) e si dispone di un resistore variabile $R_3$ regolabile con precisione. Si varia $R_3$ fino a quando il galvanometro segna zero: raggiunto l’equilibrio, la resistenza incognita $R_4$ si ricava dalla condizione del ponte,

$\ev{R_4 = R_3\,\frac{R_2}{R_1}}$

Il galvanometro come rivelatore di zero

Il galvanometro rileva correnti dell’ordine dei micro-ampere: è lo strumento più sensibile del circuito. Non viene usato per misurare direttamente un valore, ma solo come rivelatore di zero — serve a stabilire con grande finezza quando la corrente si annulla, non quanto vale. È proprio questo a rendere il metodo così preciso.

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Semplificazione di reti

Esercizi collegati: Esercizio svolto — rete mista serie e parallelo · Problema — vero o falso su serie e parallelo · Problema — resistenza equivalente serie-parallelo

The Wheatstone bridge is a four-resistor circuit arranged in a diamond shape that allows an unknown resistance to be measured with very great precision, by comparing it with known resistances. Its strength lies in a subtle idea: instead of directly measuring a current or a voltage (an operation always affected by instrumental error), one looks for the condition in which a current vanishes — a much sharper and more reliable comparison.

Balance principle

The four resistors form a diamond with vertices A (pole +), C, D and B (pole −). Between C and D a galvanometer $G$ is inserted, an extremely sensitive instrument that detects very small currents. The bridge is in balance when the current in the galvanometer is zero.

Principle — Balance of the Wheatstone bridge

The bridge is balanced when $I_G = 0$. The balance condition is: $\ev{\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}}$

Wheatstone bridge: four resistors in a diamond with a galvanometer $G$ on the central branch and an external source. At balance ($I_G = 0$) $R_1/R_2 = R_3/R_4$ holds.

Derivation of the condition

When $I_G = 0$ no current flows in the central branch: C and D are then at the same potential. The circuit behaves as two independent parallel branches, each carrying a single current:

$i_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_3} \qquad i_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + R_4}$

Since $V_C = V_D$, the potential drops across the two upper resistors $R_1$ and $R_2$ must be equal:

$R_1\,i_1 = R_2\,i_2 \;\Rightarrow\; R_1 \cdot \frac{\mathcal{E}}{R_1+R_3} = R_2 \cdot \frac{\mathcal{E}}{R_2+R_4} \;\Rightarrow\; \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$

How it is used

In practice $R_1$ and $R_2$ (fixed) are known, and a variable resistor $R_3$, adjustable with precision, is available. $R_3$ is varied until the galvanometer reads zero: once balance is reached, the unknown resistance $R_4$ is obtained from the bridge condition,

$\ev{R_4 = R_3\,\frac{R_2}{R_1}}$

The galvanometer as a null detector

The galvanometer detects currents of the order of micro-amperes: it is the most sensitive instrument in the circuit. It is not used to directly measure a value, but only as a null detector — it serves to establish with great precision when the current vanishes, not how much it is. This is precisely what makes the method so accurate.

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Topics: Electric circuits Concepts: Resistors in series and parallel Skills: Network simplification

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L’analogia “corrente elettrica come acqua che scorre in un tubo” è utile e la useremo spesso: la batteria è la pompa, la resistenza è lo strozzamento del tubo, la corrente è il flusso d’acqua, la tensione è la differenza di pressione. Molte intuizioni sui circuiti nascono da qui e ci accompagneranno per tutto lo studio. Ma ogni analogia è un ponte, e questo si rompe in almeno due punti fondamentali.

Primo limite — le cariche sono già lì. La corrente elettrica non è un getto d’acqua che arriva da lontano: le cariche (gli elettroni) sono già presenti dentro i conduttori. Quando chiudi il circuito cominciano a muoversi tutte assieme, quasi istantaneamente, perché è il campo elettrico a propagarsi — alla velocità della luce $c$ — comunicando a ogni elettrone “parti ora”. Non c’è alcun tempo di riempimento del tubo.

Secondo limite — la resistenza non è attrito. Non esiste un “attrito” nel senso meccanico. La resistenza è un fenomeno statistico di urti tra gli elettroni e il reticolo cristallino, e alle basse temperature può sparire del tutto: è la superconduttività, impensabile per l’attrito di un fluido in un tubo.

Quote

Ogni analogia è un ponte: funziona finché non provi a portarci sopra una macchina troppo pesante (Arons 1997; Battimelli e Stilli 1999).

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Argomenti: Circuiti elettrici Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Esercizi collegati: Esercizio svolto — rete mista serie e parallelo · Esercizio svolto — rete di condensatori · Esercizio svolto — circuito RC in carica

The analogy “electric current as water flowing in a pipe” is useful and we will use it often: the battery is the pump, the resistance is the narrowing of the pipe, the current is the water flow, the voltage is the pressure difference. Many intuitions about circuits arise from this and will accompany us throughout the study. But every analogy is a bridge, and this one breaks at least at two fundamental points.

First limit — the charges are already there. The electric current is not a jet of water arriving from far away: the charges (the electrons) are already present inside the conductors. When you close the circuit they all start moving together, almost instantaneously, because it is the electric field that propagates — at the speed of light $c$ — telling every electron “go now”. There is no filling-up time for the pipe.

Second limit — resistance is not friction. There is no “friction” in the mechanical sense. Resistance is a statistical phenomenon of collisions between the electrons and the crystal lattice, and at low temperatures it can disappear entirely: this is superconductivity, unthinkable for the friction of a fluid in a pipe.

Quote

Every analogy is a bridge: it works until you try to carry a machine too heavy across it (Arons 1997; Battimelli and Stilli 1999).

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Topics: Electric circuits Skills: Analysis of limiting cases and thought experiments

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Un circuito elettrico, dal punto di vista microscopico, è un oggetto mostruosamente complicato: $10^{23}$ elettroni di conduzione che diffondono in un reticolo metallico, campi elettrici che si propagano nei dielettrici, scambi di energia con i fononi del reticolo. Eppure per progettare l’amplificatore della tua chitarra basta scrivere qualche equazione di Kirchhoff e usare cinque o sei componenti ideali: resistore, condensatore, induttore, batteria, transistor.

Questa drastica riduzione non è gratuita; è il risultato di un’astrazione costruita pezzo per pezzo nell’Ottocento. Kirchhoff capisce che, a frequenze non troppo alte, il campo elettromagnetico è “intrappolato” nei conduttori e nei dielettrici, e che gli scambi energetici si possono contabilizzare come tensioni e correnti ai capi di pochi nodi. La conservazione della carica diventa la legge dei nodi; la conservazione dell’energia (cioè l’esistenza di un potenziale) diventa la legge delle maglie. Con queste due leggi e poche relazioni costitutive ($V = Ri$, $i = C\,\dd V/\dd t$, $V = L\,\dd i/\dd t$) si costruisce tutta l’elettronica analogica — almeno finché la lunghezza d’onda non diventa confrontabile con le dimensioni del circuito (al GHz e oltre, dove servono linee di trasmissione e poi le equazioni di Maxwell complete).

È un esempio paradigmatico di che cosa significhi “modello” in fisica: scartare deliberatamente quasi tutta la realtà per tenerne in evidenza la parte rilevante a una certa scala. La forza del modello sta proprio nel coraggio di buttare via.

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Argomenti: Circuiti elettrici Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

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An electric circuit, from a microscopic point of view, is a monstrously complicated object: $10^{23}$ conduction electrons diffusing through a metal lattice, electric fields propagating in dielectrics, energy exchanges with lattice phonons. Yet to design your guitar amplifier it’s enough to write a few Kirchhoff equations and use five or six ideal components: resistor, capacitor, inductor, battery, transistor.

This drastic reduction is not free; it is the result of an abstraction built piece by piece in the nineteenth century. Kirchhoff understood that, at not-too-high frequencies, the electromagnetic field is “trapped” in the conductors and dielectrics, and that the energy exchanges can be accounted for as voltages and currents at the ends of a few nodes. Conservation of charge becomes the node law; conservation of energy (i.e. the existence of a potential) becomes the loop law. With these two laws and a handful of constitutive relations ($V = Ri$, $i = C\,\dd V/\dd t$, $V = L\,\dd i/\dd t$) one builds the whole of analogue electronics — at least until the wavelength becomes comparable to the size of the circuit (at GHz and beyond, where transmission lines and then the full Maxwell equations are needed).

It is a paradigmatic example of what “model” means in physics: deliberately discarding almost all of reality in order to keep in view the part that is relevant at a given scale. The strength of the model lies precisely in the courage to throw away.

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Topics: Electric circuits Skills: Limiting-case analysis and thought experiments

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