Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche

Nel 1865 James Clerk Maxwell riunì in quattro equazioni tutto ciò che si sapeva di elettricità e magnetismo, aggiunse un termine mancante per coerenza matematica — la corrente di spostamento — e scoprì che da esse scaturivano in modo naturale delle onde elettromagnetiche che viaggiano alla velocità della luce. La luce visibile, dedusse, è una particolare onda elettromagnetica: fu una delle più grandi unificazioni della storia della fisica. Questo capitolo costruisce le equazioni una a una, ne ricava le onde, e ne esplora energia, quantità di moto, polarizzazione, sorgenti (antenne) e lo spettro completo.

Contesto storico — Maxwell, il fisico dimenticato (ingiustamente)

Nato in Scozia nel 1831, James Clerk Maxwell pubblicò nel 1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, in cui presentava le celebri equazioni. Einstein scrisse di lui: «Nella vita di ogni scienziato ci sono pochi momenti così perfetti come quando Maxwell comprese che la luce era un’onda elettromagnetica». Eppure Maxwell è oggi molto meno noto di Einstein o Newton, in parte perché morì giovane, a 48 anni, ben prima che l’importanza della sua opera fosse pienamente riconosciuta.

Sezioni

• Le quattro equazioni (prima versione, incompleta)
• Il paradosso del condensatore
• La correzione di Maxwell: corrente di spostamento
• Le quattro equazioni di Maxwell (forma completa)
• Velocità delle onde elettromagnetiche
• Struttura di un’onda elettromagnetica piana
• Polarizzazione delle onde elettromagnetiche
• Antenna dipolo e generazione di onde EM
• Lo spettro elettromagnetico
• Il trasformatore

Riflessioni

• Le equazioni di Maxwell come poesia
• Maxwell e l’unificazione: quando c esce dalle equazioni

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In 1865 James Clerk Maxwell brought together in four equations everything that was known about electricity and magnetism, added a missing term for mathematical consistency — the displacement current — and discovered that these equations naturally gave rise to electromagnetic waves travelling at the speed of light. Visible light, he deduced, is a particular electromagnetic wave: it was one of the greatest unifications in the history of physics. This chapter builds the equations one by one, derives the waves from them, and explores their energy, momentum, polarisation, sources (aerials) and the full spectrum.

Historical context — Maxwell, the (unjustly) forgotten physicist

Born in Scotland in 1831, James Clerk Maxwell published A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field in 1865, presenting the celebrated equations. Einstein wrote of him: “In the life of every scientist there are few moments as perfect as when Maxwell understood that light was an electromagnetic wave.” And yet Maxwell is today far less well known than Einstein or Newton, partly because he died young, at 48, well before the importance of his work was fully recognised.

Sections

• The four equations (first, incomplete version)
• The capacitor paradox
• Maxwell’s correction: the displacement current
• Maxwell’s four equations (complete form)
• Speed of electromagnetic waves
• Structure of a plane electromagnetic wave
• Polarisation of electromagnetic waves
• Dipole aerial and generation of EM waves
• The electromagnetic spectrum
• The transformer

Reflections

• Maxwell’s equations as poetry
• Maxwell and unification: when c falls out of the equations

Exercises

• All worked exercises for the chapter

Prima di introdurre la sua celebre correzione, raccogliamo tutto ciò che sappiamo finora sui campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$. Sorprendentemente, l’intera elettrostatica, la magnetostatica e l’induzione si condensano in quattro equazioni: due sui flussi attraverso superfici chiuse (i teoremi di Gauss) e due sulle circuitazioni lungo curve chiuse.

Equazioni dei flussi (teoremi di Gauss)

$\Phi_E(\text{sup. chiusa}) = \frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0} \qquad\text{(Gauss per } \vec{E}\text{)}$ $\Phi_B(\text{sup. chiusa}) = 0 \qquad\text{(Gauss per } \vec{B}\text{)}$

Il flusso di $\vec{E}$ attraverso una superficie chiusa misura la carica racchiusa: le cariche sono sorgenti del campo elettrico. Il flusso di $\vec{B}$, invece, è sempre nullo: non esistono monopoli magnetici, le linee di $\vec{B}$ sono sempre chiuse su sé stesse.

Equazioni della circuitazione

$\Gamma_E = -\frac{d\Phi_B}{dt} \qquad\text{(Faraday-Neumann)}$ $\Gamma_B = \mu_0\,i_\text{concatenata} \qquad\text{(Ampère)}$

La circuitazione di $\vec{E}$ lungo una linea chiusa è pari all’opposto della rapidità di variazione del flusso magnetico concatenato: un campo magnetico che cambia genera un campo elettrico che ruota (induzione). La circuitazione di $\vec{B}$, secondo Ampère, è proporzionale alla corrente concatenata.

Queste quattro equazioni sembrano riassumere tutto l’elettromagnetismo. Ma c’è un problema serio: l’equazione di Ampère è incompleta. Il prossimo passo mostra dove si rompe, con l’esempio del condensatore in carica.

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Esercizi collegati: Problema — Campo B nel condensatore in carica · Problema — Ampiezze dell’onda solare · Quale grafico di E

Before introducing his celebrated correction, let us gather everything we know so far about the fields $\vec{E}$ and $\vec{B}$. Remarkably, the whole of electrostatics, magnetostatics and induction condense into four equations: two about fluxes through closed surfaces (Gauss’s theorems) and two about circulations along closed curves.

Flux equations (Gauss's theorems)

$\Phi_E(\text{closed surf.}) = \frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0} \qquad\text{(Gauss for } \vec{E}\text{)}$ $\Phi_B(\text{closed surf.}) = 0 \qquad\text{(Gauss for } \vec{B}\text{)}$

The flux of $\vec{E}$ through a closed surface measures the enclosed charge: charges are sources of the electric field. The flux of $\vec{B}$, on the other hand, is always zero: no magnetic monopoles exist, the lines of $\vec{B}$ are always closed on themselves.

Circulation equations

$\Gamma_E = -\frac{d\Phi_B}{dt} \qquad\text{(Faraday-Neumann)}$ $\Gamma_B = \mu_0\,i_\text{linked} \qquad\text{(Ampère)}$

The circulation of $\vec{E}$ along a closed line equals minus the rate of change of the linked magnetic flux: a changing magnetic field generates an electric field that curls (induction). The circulation of $\vec{B}$, according to Ampère, is proportional to the linked current.

These four equations seem to summarise the whole of electromagnetism. But there is a serious problem: Ampère’s equation is incomplete. The next step shows where it breaks down, with the example of a charging capacitor.

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L’incompletezza della legge di Ampère si rivela in un caso semplicissimo: un condensatore in carica, collegato a un generatore. La corrente $i$ scorre nel filo di collegamento ma non attraversa le armature — tra di esse c’è solo il vuoto (o un dielettrico), dove nessuna carica si muove.

Lo stesso bordo $\gamma$ (cerchio tratteggiato) fa da contorno a due superfici diverse: $S_1$ taglia il filo, $S_2$ si infila tra le armature del condensatore.

Applichiamo la legge di Ampère alla stessa curva chiusa $\gamma$ (il “bordo”), ma scegliendo due superfici diverse che hanno $\gamma$ come contorno:

• $S_1$ taglia il filo $\Rightarrow$ $i_\text{concatenata} = i$, quindi $\Gamma_B = \mu_0\,i$.
• $S_2$ passa tra le armature (non taglia alcun filo) $\Rightarrow$ $i_\text{concatenata} = 0$, quindi $\Gamma_B = 0$.

Contraddizione!

La stessa circuitazione $\Gamma_B$, calcolata per due superfici diverse ma con lo stesso bordo, dà risultati diversi ($\mu_0 i$ oppure $0$). Ma $\Gamma_B$ dipende solo dal bordo $\gamma$, non dalla superficie scelta! Qualcosa manca nella legge di Ampère.

La chiave per risolvere il paradosso è notare che tra le armature, dove non scorre corrente di cariche, cresce un campo elettrico: sarà proprio la variazione di questo campo la sorgente mancante del campo magnetico.

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The incompleteness of Ampère’s law shows up in a very simple case: a charging capacitor, connected to a generator. The current $i$ flows in the connecting wire but does not cross the plates — between them there is only vacuum (or a dielectric), where no charge moves.

The same boundary $\gamma$ (dashed circle) bounds two different surfaces: $S_1$ cuts the wire, $S_2$ slips between the capacitor’s plates.

We apply Ampère’s law to the same closed curve $\gamma$ (the “boundary”), but choosing two different surfaces that have $\gamma$ as their edge:

• $S_1$ cuts the wire $\Rightarrow$ $i_\text{linked} = i$, so $\Gamma_B = \mu_0\,i$.
• $S_2$ passes between the plates (cuts no wire) $\Rightarrow$ $i_\text{linked} = 0$, so $\Gamma_B = 0$.

Contradiction!

The same circulation $\Gamma_B$, computed for two different surfaces but with the same boundary, gives different results ($\mu_0 i$ or $0$). But $\Gamma_B$ should depend only on the boundary $\gamma$, not on the surface chosen! Something is missing in Ampère’s law.

The key to resolving the paradox is to notice that between the plates, where no current of charges flows, an electric field grows: it is precisely the change in this field that is the missing source of the magnetic field.

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Applicando le equazioni di Faraday e di Ampère-Maxwell a un’onda piana si arriva a un risultato netto: la velocità di propagazione $v$ dipende solo dalle costanti $\varepsilon_0$ e $\mu_0$ del vuoto, non dalla frequenza né dall’ampiezza dell’onda.

Velocità di un'onda EM nel vuoto

$\ev{v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\,\mu_0}}}$

Sostituiamo i valori numerici delle due costanti:

$\varepsilon_0 \approx 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{F/m} \qquad \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\;\text{T·m/A}$

$v = \frac{1}{\sqrt{8{,}85\cdot 10^{-12}\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}}} \approx 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$

Un risultato decisivo

Questo è esattamente il valore della velocità della luce, nota da misurazioni astronomiche fin dai tempi di Rømer (circa 1676). Maxwell scrisse: «Possiamo difficilmente evitare la conclusione che la luce consiste nelle ondulazioni trasversali dello stesso mezzo che è la causa dei fenomeni elettrici e magnetici».

Due costanti misurate in laboratorio con bilance e bobine — esperimenti che con la luce non avevano nulla a che fare — si combinano e restituiscono la velocità della luce. È l’indizio che porta all’identificazione: la luce è un’onda elettromagnetica.

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Applying Faraday’s and Ampère-Maxwell’s equations to a plane wave leads to a clear-cut result: the propagation speed $v$ depends only on the vacuum constants $\varepsilon_0$ and $\mu_0$, not on the frequency nor on the amplitude of the wave.

Speed of an EM wave in vacuum

$\ev{v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\,\mu_0}}}$

Let us substitute the numerical values of the two constants:

$\varepsilon_0 \approx 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{F/m} \qquad \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\;\text{T·m/A}$

$v = \frac{1}{\sqrt{8{,}85\cdot 10^{-12}\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}}} \approx 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$

A decisive result

This is exactly the value of the speed of light, known from astronomical measurements since the time of Rømer (around 1676). Maxwell wrote: «We can scarcely avoid the inference that light consists in the transverse undulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena».

Two constants measured in the laboratory with balances and coils — experiments that had nothing to do with light — combine and yield the speed of light. This is the clue that leads to the identification: light is an electromagnetic wave.

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La “luce visibile” è solo una piccolissima parte dello spettro delle onde elettromagnetiche. Al variare di frequenza e lunghezza d’onda si hanno fenomeni molto diversi, ma tutti governati dalle stesse equazioni di Maxwell e propagati alla stessa velocità $c$ nel vuoto.

Poiché $\lambda\,f = c$, a lunghezza d’onda piccola corrisponde frequenza alta e — come vedremo con i fotoni — energia elevata: i raggi $\gamma$ sono i più energetici, le onde radio i meno energetici.

Il visibile è una piccola finestra

Le onde visibili hanno lunghezze d’onda tra $\sim 400$ nm (viola) e $\sim 700$ nm (rosso), corrispondenti a fotoni di energia $\sim 2$–$3$ eV: precisamente l’energia giusta per eccitare la rodopsina nei nostri occhi. Non è un caso: questi valori coincidono con la massima irradianza solare. L’evoluzione ha “sintonizzato” la vista umana sulla banda più abbondante dello spettro.

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Esercizi collegati: Problema — Forno a microonde · Problema — Quale onda EM · Problema — Lunghezza d’onda FM (100 MHz)

“Visible light” is only a tiny part of the spectrum of electromagnetic waves. As frequency and wavelength vary, very different phenomena occur, but all are governed by the same Maxwell equations and propagate at the same speed $c$ in vacuum.

Since $\lambda\,f = c$, a small wavelength corresponds to a high frequency and — as we shall see with photons — high energy: $\gamma$ rays are the most energetic, radio waves the least energetic.

The visible is a small window

Visible waves have wavelengths between $\sim 400$ nm (violet) and $\sim 700$ nm (red), corresponding to photons of energy $\sim 2$–$3$ eV: precisely the right energy to excite rhodopsin in our eyes. This is no coincidence: these values coincide with the peak of solar irradiance. Evolution has “tuned” human sight to the most abundant band of the spectrum.

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Un’applicazione pratica spettacolare delle equazioni di Maxwell è il trasformatore, il dispositivo che permette di alzare o abbassare la tensione della rete elettrica. Consiste di due solenoidi avvolti sullo stesso nucleo di ferro, in modo che il flusso magnetico generato dal primo attraversi entrambi.

Legge del trasformatore

Se il solenoide primario ha $N_1$ spire e il secondario $N_2$ spire: $\ev{\frac{\Delta V_2}{\Delta V_1} = \frac{N_2}{N_1}}$

Se il sistema è ideale (senza dissipazioni), anche le correnti stanno in rapporto inverso, $i_2/i_1 = N_1/N_2$, cioè $\Delta V_1\cdot i_1 = \Delta V_2\cdot i_2$ (conservazione della potenza). Alzare la tensione al secondario significa quindi abbassare in proporzione la corrente, e viceversa.

Il funzionamento è pura induzione di Faraday: la corrente alternata nel primario crea un flusso magnetico variabile nel nucleo di ferro; questo flusso, concatenato con le $N_2$ spire del secondario, vi induce una fem. Per questo il trasformatore funziona solo in corrente alternata: serve un flusso che vari nel tempo.

Contesto storico — Tesla, Edison e la guerra delle correnti

Alla fine del XIX secolo scoppiò la “guerra delle correnti” tra Thomas Edison, sostenitore della corrente continua (DC), e Nikola Tesla, che spingeva per la corrente alternata (AC). Tesla vinse proprio grazie al trasformatore: con la DC, per trasportare energia a distanza servono grandi correnti e quindi enormi perdite per effetto Joule ($Ri^2$). Con la AC si alza la tensione per il trasporto (riducendo la corrente e le perdite) e la si riabbassa all’arrivo con un secondo trasformatore. È il motivo per cui la rete elettrica di casa è a corrente alternata.

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A spectacular practical application of Maxwell’s equations is the transformer, the device that allows the voltage of the electricity grid to be raised or lowered. It consists of two solenoids wound on the same iron core, so that the magnetic flux generated by the first passes through both.

Transformer law

If the primary solenoid has $N_1$ turns and the secondary $N_2$ turns: $\ev{\frac{\Delta V_2}{\Delta V_1} = \frac{N_2}{N_1}}$

If the system is ideal (with no dissipation), the currents are also in inverse ratio, $i_2/i_1 = N_1/N_2$, i.e. $\Delta V_1\cdot i_1 = \Delta V_2\cdot i_2$ (conservation of power). Raising the voltage on the secondary therefore means proportionally lowering the current, and vice versa.

The operation is pure Faraday induction: the alternating current in the primary creates a varying magnetic flux in the iron core; this flux, linked with the $N_2$ turns of the secondary, induces an EMF there. This is why the transformer works only with alternating current: it needs a flux that varies in time.

Historical context — Tesla, Edison and the War of Currents

At the end of the 19th century the “War of Currents” broke out between Thomas Edison, a supporter of direct current (DC), and Nikola Tesla, who championed alternating current (AC). Tesla won precisely thanks to the transformer: with DC, transporting energy over distance requires large currents and hence enormous losses through the Joule effect ($Ri^2$). With AC, the voltage is raised for transport (reducing current and losses) and lowered again on arrival with a second transformer. That is why household mains electricity is alternating current.

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Boltzmann e il Faust di Goethe

Ludwig Boltzmann, leggendo le equazioni di Maxwell, citò il Faust di Goethe: «Fu un dio a scrivere questi segni?».

La sorpresa di Boltzmann non era ingenua: quattro righe di matematica racchiudono il comportamento di tutta l’elettricità, di tutto il magnetismo, e — come conseguenza inevitabile — predicono l’esistenza di un’onda che si propaga a velocità $c$. La luce, che l’umanità aveva osservato per millenni senza capirla, spunta fuori da un paio di equazioni che parlavano apparentemente solo di fili e calamite.

È il momento centrale di tutta la storia dell’unificazione: elettricità, magnetismo e ottica, discipline fino ad allora separate, diventano un’unica disciplina. Da quel momento ogni nuova sintesi della fisica — la relatività, l’elettrodebole, la ricerca della gravità quantistica — ha preso Maxwell come modello (Einstein e Infeld 1938; Simonyi 2012; Feynman 1963).

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Equazioni di Maxwell

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Boltzmann and Goethe's Faust

Ludwig Boltzmann, reading Maxwell’s equations, quoted Goethe’s Faust: «Was it a god who wrote these signs?».

Boltzmann’s astonishment was not naive: four lines of mathematics encompass the behaviour of all electricity, of all magnetism, and — as an inevitable consequence — predict the existence of a wave that propagates at speed $c$. Light, which humanity had observed for millennia without understanding it, springs out of a couple of equations that apparently spoke only of wires and magnets.

It is the central moment of the whole history of unification: electricity, magnetism and optics, disciplines separate until then, become a single discipline. From that moment on, every new synthesis in physics — relativity, the electroweak theory, the search for quantum gravity — has taken Maxwell as its model (Einstein and Infeld 1938; Simonyi 2012; Feynman 1963).

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Topics: Electromagnetic waves Concepts: Maxwell’s equations

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Nel 1865 James Clerk Maxwell pubblica A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. È un articolo lungo, in parte ancora formulato in linguaggio meccanicistico (Maxwell pensa il campo come le tensioni interne di un mezzo elastico, l‘“etere”), ma contiene quel che si rivela essere il più potente atto di unificazione della fisica classica. Le quattro equazioni che oggi associamo al suo nome mettono insieme, in un unico schema coerente, fenomeni fino a poco prima distinti: elettrostatica, magnetostatica, induzione di Faraday, e l’aggiustamento teorico alla legge di Ampère — la corrente di spostamento — che Maxwell introduce per ragioni di pura consistenza logica.

Il colpo di scena arriva nel calcolo della velocità di propagazione delle perturbazioni del campo. Combinando le sue equazioni nel vuoto, Maxwell ottiene un’equazione delle onde con velocità $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. Sostituisce i numeri — due costanti misurate in laboratorio con bilance e bobine, in esperimenti che con la luce non avevano nulla a che fare — e ottiene circa $3\cdot 10^8$ m/s. È la velocità della luce, misurata da Fizeau e Foucault qualche anno prima.

L’inferenza è immediata e mozzafiato: la luce è un’onda elettromagnetica. Tutta l’ottica — riflessione, rifrazione, polarizzazione, diffrazione — deve essere derivabile dalle equazioni di Maxwell. Nel 1888 Heinrich Hertz produce in laboratorio onde elettromagnetiche non visibili (le “onde radio”) con frequenze molto più basse di quelle ottiche, e dimostra che si comportano esattamente come predetto: viaggiano alla stessa velocità, si riflettono, si rifrangono, si polarizzano. In vent’anni la fisica si dota di una nuova finestra sull’universo (radioastronomia, raggi X, microonde del fondo cosmico) e di una nuova tecnologia di comunicazione (telegrafo senza fili, radio, televisione).

Ed è proprio dentro le equazioni di Maxwell che, una generazione più tardi, Einstein trova lo spunto per la relatività ristretta: se la velocità $c$ esce dalle costanti del vuoto, e il vuoto è lo stesso per tutti gli osservatori, allora $c$ deve essere uguale per tutti. La rivoluzione del 1905 nasce dalla domanda: «come può una velocità essere indipendente dal sistema di riferimento?». La risposta — cambiando il modo in cui spazio e tempo si trasformano — è già la storia del prossimo capitolo, quello sulla relatività ristretta.

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In 1865 James Clerk Maxwell published A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. It is a long paper, still partly framed in mechanistic language (Maxwell thinks of the field as the internal stresses of an elastic medium, the “ether”), but it contains what turns out to be the most powerful act of unification in classical physics. The four equations we today associate with his name bring together, within a single coherent framework, phenomena that until shortly before had been distinct: electrostatics, magnetostatics, Faraday’s induction, and the theoretical adjustment to Ampère’s law — the displacement current — which Maxwell introduces for reasons of pure logical consistency.

The plot twist comes in the calculation of the propagation speed of field perturbations. Combining his equations in vacuum, Maxwell obtains a wave equation with speed $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. He substitutes the numbers — two constants measured in the laboratory with balances and coils, in experiments that had nothing to do with light — and obtains about $3\cdot 10^8$ m/s. It is the speed of light, measured by Fizeau and Foucault a few years earlier.

The inference is immediate and breathtaking: light is an electromagnetic wave. All of optics — reflection, refraction, polarisation, diffraction — must be derivable from Maxwell’s equations. In 1888 Heinrich Hertz produces in the laboratory invisible electromagnetic waves (the “radio waves”) with frequencies much lower than optical ones, and shows that they behave exactly as predicted: they travel at the same speed, they reflect, they refract, they polarise. Within twenty years physics gains a new window onto the universe (radio astronomy, X-rays, the cosmic microwave background) and a new communication technology (wireless telegraphy, radio, television).

And it is precisely within Maxwell’s equations that, a generation later, Einstein finds the spark for special relativity: if the speed $c$ emerges from the vacuum constants, and the vacuum is the same for all observers, then $c$ must be the same for everyone. The 1905 revolution is born from the question: «how can a speed be independent of the reference frame?». The answer — changing the way space and time transform — is already the story of the next chapter, the one on special relativity.

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